什麼是費氏數列？
費氏數列（Fibonacci sequence）是一串整數，其中每個數字都是前兩個數字的總和，由 0 和 1 開始：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55⋯⋯依此類推。它廣泛出現在數學與大自然之中，從螺旋貝殼、向日葵的種子排列到黃金比例都看得到它的身影。這個計算機可以回傳任意索引 \(n\) 的單一費波那契數 \(F_n\)，也能產生起始索引到結束索引之間的整段數列。
如何使用這個計算機
請在產生方式下拉選單中選擇模式。選擇單一數字並輸入索引 \(n\)，即可取得單一數值 \(F_n\) 以及它的遞迴運算步驟。選擇數列並輸入起始 \(n\) 與結束 \(n\)，便會列出該範圍（含兩端）內的所有費波那契數。索引可以是正數或負數，支援範圍為 -200 到 200。
公式解析
費氏數列的定義規則是遞迴關係
$$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}, \quad F_0 = 0, \; F_1 = 1$$其中 \(F_0 = 0\)、\(F_1 = 1\)。為了在 \(n\) 很大時仍能得到精確結果，本工具採用任意精度整數進行迭代運算，而非使用 Binet 公式的浮點計算——後者在 \(n\) 大約超過 71 之後便會喪失精確度。負索引則遵循 negafibonacci 規則 \(F_{-n} = (-1)^{n+1} F_n\)，因此 \(F_{-1} = 1\)、\(F_{-2} = -1\)、\(F_{-3} = 2\)、\(F_{-4} = -3\)，依此類推。
實際範例
若要求出 \(F_{15}\)，可將數列迭代到索引 15：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610。因此
$$F_{15} = 610 = F_{14} + F_{13} = 377 + 233 = 610$$常見問題
支援負索引嗎？支援。本工具採用 negafibonacci 擴充規則，會產生正負交替的結果，例如 \(F_{-6} = -8\)。
n 最大可以多少？支援範圍為 -200 到 200。\(F_{200}\) 共有 42 位數，並透過任意精度整數精確計算得出。
為什麼不直接用 Binet 公式？Binet 的閉合式 \(F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}\) 在展示上相當優雅，但雙精度浮點的捨入誤差使它在 \(n\) 很大時並不可靠，因此最終答案改採精確的整數迭代計算。
