Qu'est-ce que la suite de Fibonacci ?
La suite de Fibonacci est une série d'entiers dans laquelle chaque nombre est la somme des deux précédents, en partant de 0 et 1 : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, et ainsi de suite. On la retrouve partout, en mathématiques comme dans la nature : coquillages en spirale, cœurs de tournesol ou encore le nombre d'or. Ce calculateur peut renvoyer un seul terme de Fibonacci \(F_n\) pour n'importe quel indice \(n\), ou générer toute la suite entre un indice de départ et un indice d'arrivée.
Comment utiliser ce calculateur
Choisissez un mode dans le menu déroulant Générer. Sélectionnez un nombre et saisissez un indice \(n\) pour obtenir la valeur unique \(F_n\) accompagnée de son étape de récurrence. Sélectionnez une suite puis indiquez un \(n\) de départ et un \(n\) de fin pour lister tous les nombres de Fibonacci sur cet intervalle (bornes incluses). Les indices peuvent être positifs ou négatifs ; la plage prise en charge va de -200 à 200.
La formule expliquée
La règle de définition est la relation de récurrence $$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}, \quad F_0 = 0, \; F_1 = 1$$ Pour obtenir des résultats exacts avec de grandes valeurs de \(n\), cet outil procède par itérations sur des entiers à précision arbitraire plutôt que par la formule de Binet en virgule flottante, qui perd en précision au-delà d'environ \(n = 71\). Les indices négatifs suivent la règle négafibonacci $$F_{-n} = (-1)^{n+1} F_n$$ d'où \(F_{-1} = 1\), \(F_{-2} = -1\), \(F_{-3} = 2\), \(F_{-4} = -3\), et ainsi de suite.
Exemple détaillé
Pour trouver \(F_{15}\), on parcourt la suite jusqu'à l'indice 15 : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610. On obtient donc \(F_{15} = 610\), ce qui correspond à $$F_{14} + F_{13} = 377 + 233 = 610$$
FAQ
Les indices négatifs sont-ils pris en charge ? Oui. L'outil utilise l'extension négafibonacci, qui produit des résultats à signes alternés comme \(F_{-6} = -8\).
Jusqu'où peut aller \(n\) ? La plage prise en charge va de -200 à 200. \(F_{200}\) compte 42 chiffres et est calculé de façon exacte grâce aux entiers à précision arbitraire.
Pourquoi ne pas simplement utiliser la formule de Binet ? La forme close de Binet est élégante à afficher, mais les arrondis en double précision la rendent peu fiable pour les grandes valeurs de \(n\) ; c'est pourquoi le résultat repose sur une itération exacte sur les entiers.
