Qu'est-ce qu'une suite linéaire (arithmétique) ?
Une suite linéaire — que l'on appelle plus couramment suite arithmétique — est une liste de nombres dont chaque terme augmente (ou diminue) d'une même valeur constante, que l'on nomme la raison. Comme les termes progressent de façon régulière, on peut additionner toute la suite à l'aide d'une formule unique et élégante, plutôt que de cumuler chaque terme un à un. Ce calculateur en détermine le total instantanément.
Comment utiliser ce calculateur
Renseignez trois valeurs : le premier terme a₁, le dernier terme aₙ et le nombre total de termes n. Lancez le calcul et vous obtiendrez la somme de la suite, le nombre de termes ainsi que le terme moyen. Inutile de connaître la raison : seuls les termes aux extrémités et leur nombre suffisent.
La formule expliquée
La somme d'une suite linéaire s'écrit :
$$S = \frac{n \times (a_1 + a_n)}{2}$$L'idée est simple et on l'attribue volontiers à Gauss : on associe le premier terme au dernier, le deuxième à l'avant-dernier, et ainsi de suite. Chaque paire donne toujours la même somme \((a_1 + a_n)\). Avec \(n\) termes, vous obtenez \(n/2\) paires de ce type, d'où \(S = n(a_1 + a_n)/2\). Autrement dit, la somme est égale au nombre de termes multiplié par le terme moyen.
Exemple concret
Additionnons tous les entiers de 1 à 100. Ici, \(a_1 = 1\), \(a_n = 100\) et \(n = 100\). On a donc $$S = \frac{100 \times (1 + 100)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = 5050.$$ Le terme moyen vaut \((1 + 100)/2 = 50{,}5\), et \(100 \times 50{,}5 = 5050\) — le résultat coïncide parfaitement.
Questions fréquentes
Ai-je besoin de connaître la raison ? Non. Dès lors que vous connaissez le premier terme, le dernier terme et le nombre de termes, la formule fonctionne pour n'importe quelle suite arithmétique.
Les termes peuvent-ils être négatifs ou décimaux ? Oui. La formule gère aussi bien les nombres négatifs que les valeurs décimales ; il suffit de les saisir directement.
Et si la suite est décroissante ? Aucun problème : indiquez la plus grande valeur comme \(a_1\) et la plus petite comme \(a_n\). La somme restera exacte.
