À quoi sert cette calculatrice
Une série géométrique est une somme de termes dans laquelle chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par un nombre fixe appelé la raison. La suite se présente ainsi : \(a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1}\). Cette calculatrice détermine deux résultats en même temps : le terme de rang n de la suite et la somme de ses n premiers termes (la somme partielle), à partir du premier terme a, de la raison r et du nombre de termes n.
Comment l'utiliser
Saisissez le premier terme a (n'importe quel nombre réel : positif, négatif ou fractionnaire), la raison r et le nombre de termes n (un entier strictement positif). Vous pouvez aussi choisir une précision d'affichage pour régler le nombre de chiffres significatifs affichés — cela n'influe que sur l'affichage, pas sur le calcul lui-même. Cliquez sur « Calculer » pour obtenir à la fois le terme de rang n aₙ et la somme Sₙ.
La formule expliquée
Le terme de rang n vaut \(a_n = a \cdot r^{n-1}\). Pour la somme, lorsque r est différent de 1, on utilise la forme close
$$S_n = a \cdot \frac{1 - r^{\,n}}{1 - r}$$Lorsque r est égal à 1, tous les termes sont identiques : le dénominateur \((1 - r)\) serait alors nul. Dans ce cas particulier, la somme se réduit simplement à
$$S_n = n \cdot a$$La calculatrice bascule automatiquement sur la bonne formule pour éviter toute division par zéro.
Exemple résolu
Avec \(a = 1\), \(r = 2\), \(n = 10\) : le 10ᵉ terme est
$$a_n = 1 \cdot 2^9 = 512$$La somme vaut
$$S_n = 1 \cdot \frac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = \frac{1 - 1024}{-1} = 1023$$Questions fréquentes
Calcule-t-elle la somme infinie ? Non. Elle calcule toujours la somme partielle finie de n termes exactement. Lorsque \(|r| < 1\), la somme partielle tend vers \(a/(1-r)\) à mesure que n augmente, mais cet outil ne suppose jamais un nombre infini de termes.
La raison peut-elle être négative ? Oui. Une raison r négative fait alterner les signes des termes, et la formule reste valable.
Et si r = 0 ? Dans ce cas, seul le premier terme apporte a et tous les termes suivants sont nuls : ainsi \(S_n = a\), et \(a_n = a\) uniquement quand \(n = 1\) (sinon \(a_n = 0\)).
