Qu'est-ce qu'une série géométrique finie ?
Une série géométrique est la somme des termes d'une suite géométrique, dans laquelle chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par un nombre constant appelé la raison (\(r\)). Une série géométrique finie n'additionne qu'un nombre déterminé de termes, \(n\). Ce calculateur renvoie la somme totale \(S_n\) des \(n\) premiers termes à partir du premier terme \(a_1\), de la raison \(r\) et du nombre de termes \(n\).
Comment utiliser le calculateur
Renseignez trois valeurs : le premier terme \(a_1\) (la valeur de départ), la raison \(r\) (le facteur reliant deux termes consécutifs) et \(n\) (le nombre de termes à additionner). Lancez le calcul pour obtenir la somme, ainsi que la valeur du dernier terme \(a_n\) et celle de \(r^n\) à titre indicatif. Les nombres entiers comme les nombres décimaux sont acceptés, et \(r\) peut être négatif ou fractionnaire.
La formule expliquée
La somme sous forme close s'écrit :
$$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}$$valable dès que \(r \neq 1\).
Elle évite d'additionner les termes un à un. Si \(r = 1\), chaque terme est égal à \(a_1\) et la somme vaut donc simplement
$$S_n = a_1 \cdot n$$Le calculateur détecte ce cas particulier de façon automatique pour éviter toute division par zéro.
Exemple résolu
Supposons \(a_1 = 2\), \(r = 3\) et \(n = 5\). Les termes sont 2, 6, 18, 54, 162. Avec la formule : \(r^n = 3^5 = 243\), donc
$$S_n = 2 \cdot \frac{1 - 243}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{-242}{-2} = 2 \cdot 121 = 242$$En additionnant directement les cinq termes (\(2 + 6 + 18 + 54 + 162\)), on obtient également 242. ✓
FAQ
La raison peut-elle être négative ? Oui. Une raison \(r\) négative engendre des signes alternés (par exemple, \(r = -2\) donne les termes \(a_1, -2a_1, 4a_1, \ldots\)), et la formule en tient parfaitement compte.
Que se passe-t-il si \(r\) est compris entre \(-1\) et \(1\) ? La somme finie reste valable. À mesure que \(n\) augmente, la somme se rapproche de la limite de la série infinie \(\frac{a_1}{1 - r}\), mais cet outil additionne toujours exactement \(n\) termes.
Que signifie \(r^n\) dans les résultats ? Il s'agit de la raison élevée à la puissance \(n\), une valeur intermédiaire de la formule, affichée par souci de transparence.
