Sonlu Geometrik Seri Toplamı Hesaplama Aracı

Hesaplamaya Girin

İlk terim (a₁)

Ortak çarpan (r)

Terim sayısı (n)

Sonuç

Sonlu Geometrik Serinin Toplamı (Sₙ)

242

sum of the first 5 terms

Son terim (aₙ = a₁·rⁿ⁻¹)	162
rⁿ	243
Terim sayısı (n)	5

Sonlu geometrik seri nedir?

Geometrik seri, bir geometrik dizinin terimlerinin toplamıdır; burada her terim, bir önceki terimin ortak çarpan (\(r\)) adı verilen sabit bir sayıyla çarpılmasıyla elde edilir. Sonlu bir geometrik seride ise yalnızca belirli sayıda, yani \(n\) adet terim toplanır. Bu hesaplama aracı; ilk terim \(a_1\), ortak çarpan \(r\) ve terim sayısı \(n\) verildiğinde ilk \(n\) terimin toplamı olan \(S_n\) değerini verir.

Geometrik dizi: her terim bir öncekinin ortak oran r ile çarpımına eşittir.

Hesaplama aracı nasıl kullanılır?

Üç değer girin: ilk terim \(a_1\) (başlangıç değeri), ortak çarpan \(r\) (ardışık terimler arasındaki çarpan) ve \(n\) (kaç terimin toplanacağı). Hesapla düğmesine bastığınızda toplamın yanı sıra son terim \(a_n\) ile referans olması için \(r^n\) değerini de görürsünüz. Hem tam sayılar hem de ondalıklı sayılar desteklenir; \(r\) negatif ya da kesirli olabilir.

Formülün açıklaması

Kapalı biçimdeki toplam şu şekildedir:

$$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^{n}}{1 - r}$$

ve bu formül \(r \neq 1\) olduğu her durumda geçerlidir.

Bu sayede terimleri tek tek toplamak zorunda kalmazsınız. Eğer \(r = 1\) ise her terim \(a_1\) değerine eşit olur ve toplam basitçe

$$S_n = a_1 \cdot n$$

şeklinde bulunur. Hesaplama aracı, sıfıra bölme hatasını önlemek için bu özel durumu otomatik olarak algılar.

Reklam

Kapalı form formülü n terimin toplamına eşittir.

Çözümlü örnek

Diyelim ki \(a_1 = 2\), \(r = 3\) ve \(n = 5\) olsun. Terimler şöyledir: 2, 6, 18, 54, 162. Formülü kullanırsak: \(r^n = 3^5 = 243\), dolayısıyla

$$S_n = 2 \cdot \frac{1 - 243}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{-242}{-2} = 2 \cdot 121 = 242$$

Beş terimi doğrudan topladığımızda \((2 + 6 + 18 + 54 + 162)\) yine 242 buluruz. ✓

Sıkça Sorulan Sorular

Ortak çarpan negatif olabilir mi? Evet. Negatif bir \(r\) değeri, işaretleri sırayla değişen terimler üretir (örneğin \(r = -2\) için terimler \(a_1, -2a_1, 4a_1, \ldots\) şeklinde olur) ve formül bu durumu doğru biçimde işler.

\(r\) değeri \(-1\) ile \(1\) arasındaysa ne olur? Sonlu toplam yine çalışır. \(n\) büyüdükçe toplam, sonsuz serinin limiti olan \(a_1/(1 - r)\) değerine yaklaşır; ancak bu araç her zaman tam olarak \(n\) terimi toplar.

Sonuçlardaki \(r^n\) ne anlama gelir? Bu, ortak çarpanın \(n\). kuvvetidir; formülde geçen ve şeffaflık adına gösterilen bir ara değerdir.