ما المقصود بالمتسلسلة الهندسية المنتهية؟
المتسلسلة الهندسية هي مجموع حدود متتالية هندسية، حيث نحصل على كل حد بضرب الحد الذي يسبقه في عدد ثابت يُسمّى النسبة الثابتة (\(r\)). أمّا المتسلسلة الهندسية المنتهية فتجمع عددًا محدّدًا فقط من الحدود وهو \(n\). تُعطيك هذه الحاسبة المجموع الكلي \(S_n\) لأول \(n\) حدًّا انطلاقًا من الحد الأول \(a_1\) والنسبة \(r\) وعدد الحدود \(n\).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل ثلاث قيم: الحد الأول \(a_1\) (القيمة الابتدائية)، والنسبة الثابتة \(r\) (المعامل الذي يربط بين كل حدين متتاليين)، و\(n\) (عدد الحدود التي تريد جمعها). اضغط على «احسب» لتحصل على المجموع، إضافةً إلى قيمة الحد الأخير \(a_n\) وقيمة \(r^n\) للمرجعية. تدعم الحاسبة الأعداد الصحيحة والأعداد العشرية على حدٍّ سواء، كما يمكن أن تكون النسبة \(r\) سالبة أو كسرًا.
شرح القانون
الصيغة المغلقة للمجموع هي:
$$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}$$ وهي صالحة دائمًا ما دامت \(r \neq 1\).
يُغنيك هذا القانون عن جمع الحدود واحدًا تلو الآخر. وعندما تكون \(r = 1\) تتساوى جميع الحدود مع \(a_1\)، فيصبح المجموع ببساطة $$S_n = a_1 \cdot n$$ وتكتشف الحاسبة هذه الحالة الخاصة تلقائيًا لتفادي القسمة على صفر.
مثال محلول
لنفترض أنّ \(a_1 = 2\) و\(r = 3\) و\(n = 5\). تكون الحدود حينئذٍ: 2، 6، 18، 54، 162. وبتطبيق القانون: \(r^n = 3^5 = 243\)، إذًا $$S_n = 2 \cdot \frac{1 - 243}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{-242}{-2} = 2 \cdot 121 = 242$$ وبجمع الحدود الخمسة مباشرةً (\(2 + 6 + 18 + 54 + 162\)) نحصل أيضًا على 242. ✓
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن تكون النسبة سالبة؟ نعم. تُنتج النسبة السالبة إشارات متناوبة (فمثلًا \(r = -2\) يعطي الحدود \(a_1\) و\(-2a_1\) و\(4a_1\) …)، والقانون يتعامل معها بصورة صحيحة.
ماذا لو كانت r محصورة بين −1 و1؟ يظلّ المجموع المنتهي صالحًا. ومع تزايد \(n\) يقترب المجموع من نهاية المتسلسلة اللانهائية \(\frac{a_1}{1 - r}\)، لكنّ هذه الأداة تجمع دائمًا \(n\) حدًّا بالضبط.
ماذا تعني rⁿ في النتائج؟ إنها النسبة الثابتة مرفوعة إلى القوة \(n\)، وهي قيمة وسيطة في القانون نعرضها لمزيد من الوضوح.
