ما هي حاسبة مجموع المتتالية الحسابية؟
المتتالية الحسابية (السلسلة الحسابية) هي مجموع حدود متوالية حسابية، أي قائمة من الأرقام يزداد فيها كل حد (أو ينقص) بمقدار ثابت يُسمى أساس المتوالية أو الفرق المشترك. تقوم هذه الحاسبة بجمع أول n حدًا من هذه المتتالية بمعلومية الحد الأول، والأساس، وعدد الحدود التي تريد تضمينها.
طريقة الاستخدام
أدخِل الحد الأول a₁، ثم الأساس d (موجبًا إذا كانت المتتالية متزايدة، وسالبًا إذا كانت متناقصة)، وأخيرًا عدد الحدود n. تُظهر لك الحاسبة المجموع الكلي Sₙ، والحد الأخير aₙ، مع تأكيد عدد الحدود المُدخلة.
شرح القانون
يُحسب المجموع باستخدام الصيغة التالية:
$$S_n = \frac{n}{2}\left(2\,a_1 + \left(n - 1\right)d\right)$$الفكرة وراء هذا القانون بسيطة: عند جمع الحد الأول مع الحد الأخير نحصل دائمًا على القيمة نفسها، وعدد هذه الأزواج هو \(n/2\). وبما أن الحد الأخير يساوي \(a_n = a_1 + (n - 1)d\)، فيمكن كتابة صيغة مكافئة هي \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\).
مثال محلول
لنفترض أن \(a_1 = 2\) و\(d = 3\) و\(n = 5\). تكون الحدود حينئذٍ: 2، 5، 8، 11، 14. بتطبيق القانون:
$$S_n = \frac{5}{2}\left(2\cdot 2 + (5-1)\cdot 3\right) = 2.5 \cdot (4 + 12) = 2.5 \cdot 16 = 40$$وبالجمع المباشر: \(2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40\). ✔
أمثلة عملية إضافية
الصيغتان المتكافئتان لمجموع المتسلسلة الحسابية هما:
$$S_n = \frac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr) \qquad\text{و}\qquad S_n = \frac{n}{2}\bigl(a_1 + a_n\bigr)$$الصيغة الثانية مفيدة عندما تعرف بالفعل (أو تحسب أولاً) الحد الأخير \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
مثال 1 — متسلسلة تناقصية مع قيمة d سالبة
تبدأ متسلسلة عند \(a_1 = 40\)، تتناقص بمقدار \(d = -3\) في كل خطوة، وتحتوي على \(n = 10\) حدود.
$$S_{10} = \frac{10}{2}\bigl(2(40) + (10-1)(-3)\bigr)$$$$= 5\bigl(80 + 9(-3)\bigr) = 5(80 - 27) = 5(53) = \;$$المجموع هو 265. (الحد العاشر هو \(a_{10} = 40 + 9(-3) = 13\)، لذلك تسير الحدود 40, 37, 34, … , 13.)
مثال 2 — حالة n الكبيرة
احسب مجموع أول \(n = 100\) حد من المتسلسلة مع \(a_1 = 5\) و \(d = 4\).
$$S_{100} = \frac{100}{2}\bigl(2(5) + (100-1)(4)\bigr)$$$$= 50\bigl(10 + 99(4)\bigr) = 50(10 + 396) = 50(406) = \;$$المجموع هو 20300.
مثال 3 — استخدام صيغة \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)
لدينا متسلسلة حيث \(a_1 = 7\)، \(d = 5\)، و \(n = 20\). أولاً ابحث عن الحد الأخير:
$$a_{20} = a_1 + (n-1)d = 7 + (20-1)(5) = 7 + 95 = 102$$ثم طبق صيغة متوسط نقاط النهاية:
$$S_{20} = \frac{20}{2}\bigl(a_1 + a_{20}\bigr) = 10(7 + 102) = 10(109) = \;$$المجموع هو 1090. هذا يطابق الصيغة الموسعة \(\frac{20}{2}(2\cdot7 + 19\cdot5) = 10(14 + 95) = 1090\).
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان الأساس d يساوي صفرًا؟ في هذه الحالة تتساوى جميع الحدود مع \(a_1\)، ويصبح المجموع ببساطة \(n \times a_1\).
هل يمكن أن يكون الأساس d سالبًا؟ نعم. الأساس السالب يُنتج متتالية متناقصة، ويظل القانون صحيحًا في جميع الأحوال.
ما الفرق بين المتوالية والمتتالية؟ المتوالية هي القائمة المرتبة من الأرقام، أما المتتالية فهي مجموع تلك الأرقام.
