ما هي حاسبة احتمال بواسون؟
يصف توزيع بواسون عدد المرات التي يقع فيها حدث ما خلال فترة محددة من الزمن أو ضمن مساحة أو حجم معيّن، عندما تقع هذه الأحداث بشكل مستقل وبمعدل وسطي ثابت. تحسب هذه الأداة قيمة P(X = k)، أي احتمال ملاحظة k حدثًا بالضبط، إلى جانب الاحتمالات التراكمية واحتمالات الأطراف. ومن أبرز استخداماتها: عدد المكالمات الواردة إلى مركز اتصال، عدد زيارات الموقع في الدقيقة، عدد العيوب في الدفعة الواحدة، عدد الأهداف في المباراة، وعدّات التحلل الإشعاعي.
طريقة الاستخدام
أدخل المعدل الوسطي λ (العدد المتوقع للأحداث ضمن الفترة التي تدرسها) ثم العدد المستهدف k (عدد صحيح غير سالب). تعرض لك الحاسبة احتمال وقوع k حدثًا بالضبط، إضافةً إلى أربعة احتمالات مرتبطة: \(P(X < k)\) و\(P(X \le k)\) و\(P(X \ge k)\) و\(P(X > k)\). تأكّد من أن قيمتَي λ وk تشيران إلى الفترة نفسها — فإذا انتقلت من "لكل ساعة" إلى "لكل يوم"، فعليك تعديل قيمة λ بما يتناسب مع ذلك.
شرح المعادلة
دالة الكتلة الاحتمالية لتوزيع بواسون هي
$$P(X = \text{k}) = \frac{\lambda^{\,\text{k}}\; e^{-\lambda}}{\text{k}!}$$حيث \(e \approx 2.71828\) هو عدد أويلر، و\(\text{k}!\) هو مضروب العدد k. يتزايد الحدّ \(\lambda^{\text{k}}\) كلما زاد عدد الأحداث، بينما يمثّل \(e^{-\lambda}\) عامل تناقص يضبط القيمة، أما القسمة على \(\text{k}!\) فتأخذ في الحسبان أن ترتيب الأحداث غير قابل للتمييز.
مثال محلول
لنفترض أن متجرًا يستقبل في المتوسط \(\lambda = 3\) زبائن في الساعة، وتريد معرفة احتمال وصول \(\text{k} = 2\) من الزبائن بالضبط خلال الساعة القادمة. عندئذٍ:
$$P(X = 2) = \frac{3^{2} \cdot e^{-3}}{2!} = \frac{9 \times 0.049787}{2} = \frac{0.448084}{2} = 0.224042$$أي ما يقارب 22.4%.
الأسئلة الشائعة
ماذا تمثّل λ؟ إنها المتوسط (والتباين أيضًا) للتوزيع، أي العدد المتوقع للأحداث في كل فترة.
هل يمكن أن يكون k أكبر من λ؟ نعم. يمكن أن يكون k أي عدد صحيح غير سالب؛ ويتناقص الاحتمال ببساطة كلما ابتعد k كثيرًا عن λ.
متى يكون نموذج بواسون مناسبًا؟ عندما تكون الأحداث مستقلة، وتقع بمعدل وسطي ثابت، ولا يمكن لحدثين أن يقعا في اللحظة نفسها تمامًا.
