पॉइसन प्रायिकता कैलकुलेटर क्या है?
पॉइसन वितरण यह बताता है कि किसी निश्चित समय, स्थान या आयतन के अंतराल में कोई घटना कितनी बार घटेगी, जब वे घटनाएँ एक स्थिर औसत दर पर और एक-दूसरे से स्वतंत्र होकर घटती हैं। यह कैलकुलेटर P(X = k) यानी ठीक k घटनाएँ देखने की प्रायिकता निकालता है, साथ ही संचयी (cumulative) और टेल (tail) प्रायिकताएँ भी देता है। इसके आम उपयोग हैं — कॉल-सेंटर पर आने वाली कॉल, प्रति मिनट वेबसाइट हिट्स, प्रति बैच दोष (defects), प्रति मैच गोल, और रेडियोधर्मी क्षय की गिनती।
इसका उपयोग कैसे करें
औसत दर λ दर्ज करें (आपके अंतराल के लिए अपेक्षित घटनाओं की संख्या) और लक्ष्य गिनती k लिखें (एक गैर-ऋणात्मक पूर्ण संख्या)। कैलकुलेटर ठीक k घटनाओं की प्रायिकता के अलावा चार संबंधित प्रायिकताएँ भी देता है: \(P(X < k)\), \(P(X \le k)\), \(P(X \ge k)\), और \(P(X > k)\)। ध्यान रखें कि λ और k दोनों एक ही अंतराल के लिए हों — अगर आप "प्रति घंटा" से "प्रति दिन" पर जाते हैं, तो λ को उसी अनुपात में बदलना न भूलें।
सूत्र को समझें
पॉइसन प्रायिकता द्रव्यमान फलन (probability mass function) है $$P(X = \text{k}) = \frac{\lambda^{\,\text{k}}\; e^{-\lambda}}{\text{k}!}$$ जहाँ \(e \approx 2.71828\) यूलर संख्या है और \(\text{k}!\) का अर्थ k का क्रमगुणित (factorial) है। यहाँ \(\lambda^{\text{k}}\) घटनाओं के बढ़ने के साथ बढ़ता है, \(e^{-\lambda}\) एक सामान्यीकरण करने वाला क्षय गुणक है, और \(\text{k}!\) से भाग देना घटनाओं के अप्रभेद्य क्रम को ध्यान में रखता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए किसी दुकान पर औसतन \(\lambda = 3\) ग्राहक प्रति घंटा आते हैं और आप जानना चाहते हैं कि अगले एक घंटे में ठीक \(\text{k} = 2\) ग्राहक आने की प्रायिकता क्या है। $$P(X = 2) = \frac{3^{2} \cdot e^{-3}}{2!} = \frac{9 \times 0.049787}{2} = \frac{0.448084}{2} = \mathbf{0.224042}$$ यानी लगभग 22.4%।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
λ किसका प्रतिनिधित्व करता है? यह वितरण का माध्य (और प्रसरण/variance भी) है — यानी प्रति अंतराल अपेक्षित घटनाओं की संख्या।
क्या k, λ से बड़ा हो सकता है? हाँ। k कोई भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हो सकता है; जैसे-जैसे k, λ से दूर जाता है, प्रायिकता बस घटती जाती है।
पॉइसन मॉडल कब उपयुक्त होता है? जब घटनाएँ स्वतंत्र हों, एक स्थिर औसत दर पर घटें, और दो घटनाएँ ठीक एक ही क्षण में न घट सकें।
