什麼是卜瓦松機率計算器？
卜瓦松分佈（Poisson distribution）用來描述某事件在固定的時間、空間或體積區間內發生的次數，前提是這些事件彼此獨立、且以固定的平均速率發生。本計算器可算出 P(X = k)，也就是恰好觀察到 k 次事件的機率，並一併提供累積機率與尾端機率。常見應用包括客服中心的來電數量、網站每分鐘的點擊次數、每批產品的瑕疵數、每場比賽的進球數，以及放射性衰變的計數等。
如何使用
請輸入平均發生率 λ（也就是該區間內事件的期望次數），以及目標次數 k（必須為非負整數）。計算器會回傳恰好 k 次事件的機率，並附上四種相關機率：\(P(X < k)\)、\(P(X \le k)\)、\(P(X \ge k)\) 與 \(P(X > k)\)。請務必確認 λ 與 k 指的是同一個區間——例如從「每小時」改為「每天」時，記得依比例調整 λ 的數值。
公式說明
卜瓦松機率質量函數為
$$P(X = \text{k}) = \frac{\lambda^{\,\text{k}}\; e^{-\lambda}}{\text{k}!}$$其中 \(e \approx 2.71828\) 為歐拉數，\(\text{k}!\) 則是 \(\text{k}\) 的階乘。其中 \(\lambda^{\,\text{k}}\) 會隨事件次數增加而變大，\(e^{-\lambda}\) 是用來正規化的衰減因子，而除以 \(\text{k}!\) 則是為了消除事件排列順序無法區分所造成的重複計算。
實例演算
假設某家店平均每小時來客數為 \(\lambda = 3\) 人，而你想知道接下來一小時內恰好來 \(\text{k} = 2\) 位客人的機率。
$$P(X = 2) = \frac{3^{2} \cdot e^{-3}}{2!} = \frac{9 \times 0.049787}{2} = \frac{0.448084}{2} = \mathbf{0.224042}$$約為 22.4%。
常見問題
λ 代表什麼？它是分佈的平均值（同時也是變異數）——也就是每個區間內事件的期望發生次數。
k 可以大於 λ 嗎？可以。k 可以是任何非負整數；只是當 k 離 λ 越遠，對應的機率就會越小。
什麼情況適合使用卜瓦松模型？當事件彼此獨立、以固定的平均速率發生，且兩個事件不會在完全相同的瞬間同時發生時，便適用此模型。
