這個計算機能做什麼

這款標準差計算機只要輸入一串數字，就能立刻算出樣本標準差，並附上完整的描述統計量：平均數、中位數、變異數、最小值、最大值、個數與總和。無論你是學生、分析師、研究人員，或任何想了解一組數據離散程度的人，都不必再開試算表，動動手指就能搞定。

使用方法

畫面上只有一個欄位：輸入數字（以逗號分隔）。把你的數值用逗號、分號或空格隔開後貼上或輸入即可——計算機對分隔符號相當有彈性，還會自動略過空白項目。舉例來說，你可以輸入 4, 8, 15, 16, 23, 42 後送出。

本工具採用的是樣本標準差公式：

$$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}$$

其中 $x_i$ 代表每一個數值，$\bar{x}$ 是平均數，$n$ 則是數值個數。請注意分母是 $n - 1$ 而非 $n$——這就是所謂的「貝索校正（Bessel's correction）」。當你的資料只是從更大母體中抽出的樣本時，這項校正能提供不偏的估計值。變異數則單純是 $s^2$。

以這組數值 4, 8, 15, 16, 23, 42 為例：

個數 = 6，總和 = 108
平均數 = 108 ÷ 6 = 18
各項離差平方：(4−18)² + (8−18)² + (15−18)² + (16−18)² + (23−18)² + (42−18)² = 196 + 100 + 9 + 4 + 25 + 576 = 910
變異數 = 910 ÷ (6 − 1) = 182
標準差 = √182 ≈ 13.49

這組數值的中位數，則取最中間兩個數（15 與 16）的平均 = 15.5。

標準差（SD）告訴您資料集中個別值平均距離平均值有多遠。它以與您的資料相同的單位報告，這使其直接可解釋。

由於 SD 取決於資料的尺度，很難比較以不同單位測量或具有非常不同平均值的資料集之間的分佈。為此，請使用變異係數（CV），定義為 SD 除以平均值，通常以百分比表示：

$$\text{CV} = \frac{s}{\bar{x}} \times 100\%$$

例如，具有 $s = 6$ 和 $\bar{x} = 40$ 的資料集的 CV 為 15%，表示分佈是平均值的 15% —— 這是相對測量，您可以將其與完全不同尺度的資料集進行比較。

當您的資料大致呈鐘形（近似正態分佈）時，經驗法則可快速了解 SD 與分佈的關係：

因此，對於平均值為 $\bar{x}=100$ 和 $s=10$ 的近似正態資料，大約 95% 的值將位於 80 到 120 之間。超過 2–3 SD 的值不常見，可能值得檢查是否為潛在異常值。

這算的是樣本標準差還是母體標準差？ 本計算機算的是樣本標準差，分母為 $n - 1$。若你需要母體標準差（分母為 $n$），兩者在大型資料中差異很小，但在資料筆數少時就會比較明顯。

可以使用哪些分隔符號？ 逗號、分號、空格或換行都行，因此你可以直接從試算表複製一整欄貼上。

為什麼要把變異數和標準差一起顯示？ 變異數就是標準差的平方，常用於各種統計檢定與變異數分析（ANOVA）；而標準差因為單位與原始資料相同，相對更容易解讀。