什麼是共變異數？
共變異數用來衡量兩個變數一起變動的方式。當兩個變數傾向同時上升時，共變異數為正；當其中一個上升、另一個下降時，共變異數為負；若數值接近零，則代表兩者之間幾乎沒有線性關係。與相關係數不同，共變異數並未經過標準化，因此它的大小會受到資料單位的影響——但它的正負號仍能告訴你兩者關係的方向。
本計算機計算的是樣本共變異數，也就是除以 \((n - 1)\) 而非 \(n\)。這個 \((n - 1)\) 的調整稱為貝索校正（Bessel's correction），當你的資料只是從更大母體中抽取的樣本時，它能提供一個不偏的估計值。
如何使用本計算機
- 以逗號分隔的方式輸入 X 數值（例如：2, 4, 6, 8）。
- 以逗號分隔的方式輸入相同數量的 Y 數值（例如：1, 3, 2, 5）。
- 點擊計算，即可得到樣本共變異數。
兩組清單的數值數量必須相同，因為每一個 X 都會與對應的 Y 配成一對。請確認沒有空白項目或多餘的逗號。
樣本共變異數公式
使用的公式如下：
$$\text{cov}_{xy} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \bar{x}\right)\left(y_i - \bar{y}\right)}{n - 1}$$
其中 \(\bar{x}\) 與 \(\bar{y}\) 分別是 X 與 Y 數值的平均數，\(n\) 是資料配對的數量，而總和則是把每一組資料點與各自平均數的偏差相乘後加總起來。
實例演算
假設 X = 2, 4, 6, 8，Y = 1, 3, 2, 5。
- X 的平均數 = 5；Y 的平均數 = 2.75。
- 偏差乘積：\((-3)(-1.75) + (-1)(0.25) + (1)(-0.75) + (3)(2.25) = 5.25 - 0.25 - 0.75 + 6.75 = 11\)。
- 再除以 \((n - 1) = 3\)：共變異數 \(= 11 / 3 \approx 3.67\)。
結果為正，證明 X 與 Y 傾向一起上升。
常見問題
樣本共變異數與母體共變異數有什麼差別？樣本共變異數除以 \((n - 1)\)，適用於資料代表樣本的情況；母體共變異數則除以 \(n\)，適用於你已掌握整個母體資料的情況。
共變異數可以大於 1 嗎？可以。共變異數並不會被限制在 \(-1\) 到 \(1\) 之間——那個範圍是相關係數的特性。共變異數會隨著資料的尺度而取任意值。
共變異數與相關係數有什麼關係？相關係數是共變異數除以兩個標準差的乘積，得到一個介於 \(-1\) 到 \(1\) 之間的標準化數值。
