Qu'est-ce que la covariance ?
La covariance mesure la façon dont deux variables évoluent conjointement. Lorsque deux variables ont tendance à augmenter en même temps, la covariance est positive. Lorsque l'une augmente pendant que l'autre diminue, la covariance est négative. Une valeur proche de zéro indique qu'il existe peu de relation linéaire entre les deux variables. Contrairement à la corrélation, la covariance n'est pas normalisée : son ampleur dépend donc des unités de vos données, mais son signe vous renseigne toujours sur le sens de la relation.
Ce calculateur détermine la covariance d'échantillon, qui divise par (n − 1) plutôt que par n. Cet ajustement par (n − 1), appelé correction de Bessel, fournit une estimation sans biais lorsque vos données constituent un échantillon prélevé dans une population plus large.
Comment utiliser le calculateur
- Saisissez vos valeurs X sous la forme d'une liste séparée par des virgules (par exemple : 2, 4, 6, 8).
- Saisissez vos valeurs Y sous la forme d'une liste de même longueur, séparée par des virgules (par exemple : 1, 3, 2, 5).
- Cliquez sur « Calculer » pour afficher la covariance d'échantillon.
Les deux listes doivent comporter le même nombre de valeurs, car chaque X est associé à son Y correspondant. Veillez à ne laisser aucune case vide ni virgule en trop.
La formule de la covariance d'échantillon
La formule utilisée est la suivante :
$$\text{cov}_{xy} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \bar{x}\right)\left(y_i - \bar{y}\right)}{n - 1}$$
Ici, \(\bar{x}\) et \(\bar{y}\) représentent les moyennes des valeurs X et Y, \(n\) correspond au nombre de paires de données, et la somme additionne le produit des écarts de chaque point par rapport à sa propre moyenne.
Exemple détaillé
Supposons que X = 2, 4, 6, 8 et Y = 1, 3, 2, 5.
- Moyenne de X = 5 ; moyenne de Y = 2,75.
- Produits des écarts : $$(-3)(-1{,}75) + (-1)(0{,}25) + (1)(-0{,}75) + (3)(2{,}25) = 5{,}25 - 0{,}25 - 0{,}75 + 6{,}75 = 11.$$
- On divise par \((n - 1) = 3\) : \(\text{covariance} = 11 / 3 \approx 3{,}67\).
Le résultat positif confirme que X et Y ont tendance à augmenter ensemble.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre la covariance d'échantillon et celle de population ? La covariance d'échantillon divise par (n − 1) et s'utilise lorsque vos données représentent un échantillon. La covariance de population divise par n et s'utilise lorsque vous disposez des données d'une population entière.
La covariance peut-elle dépasser 1 ? Oui. La covariance n'est pas comprise entre −1 et 1 : cet intervalle ne s'applique qu'au coefficient de corrélation. La covariance peut prendre n'importe quelle valeur selon l'échelle des données.
Quel est le lien entre covariance et corrélation ? La corrélation correspond à la covariance divisée par le produit des deux écarts-types, ce qui donne une valeur normalisée comprise entre −1 et 1.
