कोवैरिएंस क्या होता है?
कोवैरिएंस यह मापता है कि दो चर (variables) एक साथ किस तरह बदलते हैं। जब दोनों चर एक ही समय पर बढ़ने की प्रवृत्ति रखते हैं, तो कोवैरिएंस धनात्मक (positive) होता है। जब एक बढ़ता है और दूसरा घटता है, तो कोवैरिएंस ऋणात्मक (negative) होता है। यदि मान शून्य के करीब है, तो इसका मतलब है कि दोनों चरों के बीच कोई खास रैखिक (linear) संबंध नहीं है। कोरिलेशन के विपरीत, कोवैरिएंस मानकीकृत (standardized) नहीं होता, इसलिए इसका आकार आपके डेटा की इकाइयों पर निर्भर करता है — लेकिन इसका चिह्न (sign) फिर भी संबंध की दिशा बता देता है।
यह कैलकुलेटर सैंपल कोवैरिएंस की गणना करता है, जिसमें n के बजाय (n − 1) से भाग दिया जाता है। (n − 1) वाला यह समायोजन, जिसे बेसेल करेक्शन (Bessel's correction) कहते हैं, तब एक निष्पक्ष (unbiased) अनुमान देता है जब आपका डेटा किसी बड़ी जनसंख्या से लिया गया एक सैंपल हो।
कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- अपने X मानों को कॉमा से अलग करके सूची के रूप में डालें (उदाहरण: 2, 4, 6, 8)।
- अपने Y मानों को भी उतनी ही लंबाई की कॉमा-सेपरेटेड सूची में डालें (उदाहरण: 1, 3, 2, 5)।
- सैंपल कोवैरिएंस देखने के लिए क␏लकुलेट बटन पर क्लिक करें।
दोनों सूचियों में मानों की संख्या समान होनी चाहिए, क्योंकि प्रत्येक X अपने संबंधित Y के साथ जोड़ी (pair) में रखा जाता है। ध्यान रखें कि कोई खाली प्रविष्टि या अतिरिक्त कॉमा न हो।
सैंपल कोवैरिएंस का सूत्र
उपयोग किया गया सूत्र इस प्रकार है:
$$\text{cov}(X, Y) = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \bar{x}\right)\left(y_i - \bar{y}\right)}{n - 1}$$यहाँ \(\bar{x}\) और \(\bar{y}\) क्रमशः X और Y मानों के माध्य (mean) हैं, \(n\) डेटा जोड़ियों की संख्या है, और योग (summation) प्रत्येक बिंदु के अपने माध्य से विचलन के गुणनफल को जोड़ता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए X = 2, 4, 6, 8 और Y = 1, 3, 2, 5 हैं।
- X का माध्य = 5; Y का माध्य = 2.75।
- विचलनों के गुणनफल: \((-3)(-1.75) + (-1)(0.25) + (1)(-0.75) + (3)(2.25) = 5.25 - 0.25 - 0.75 + 6.75 = 11\)।
- (n − 1) = 3 से भाग दें: \(\text{कोवैरिएंस} = 11 / 3 \approx 3.67\)।
धनात्मक परिणाम इस बात की पुष्टि करता है कि X और Y एक साथ बढ़ने की प्रवृत्ति रखते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
सैंपल और पॉपुलेशन कोवैरिएंस में क्या अंतर है? सैंपल कोवैरिएंस में (n − 1) से भाग दिया जाता है और इसका उपयोग तब होता है जब आपका डेटा एक सैंपल का प्रतिनिधित्व करता है। पॉपुलेशन कोवैरिएंस में n से भाग दिया जाता है और इसका उपयोग तब होता है जब आपके पास पूरी जनसंख्या का डेटा हो।
क्या कोवैरिएंस 1 से अधिक हो सकता है? हाँ। कोवैरिएंस −1 और 1 के बीच सीमित नहीं होता — यह सीमा कोरिलेशन गुणांक पर लागू होती है। डेटा के स्केल के अनुसार कोवैरिएंस कोई भी मान ले सकता है।
कोवैरिएंस का कोरिलेशन से क्या संबंध है? कोरिलेशन, कोवैरिएंस को दोनों मानक विचलनों (standard deviations) के गुणनफल से भाग देकर निकाला जाता है, जिससे −1 और 1 के बीच एक मानकीकृत मान मिलता है।
