공분산이란?
공분산은 두 변수가 함께 어떻게 변하는지를 나타내는 지표입니다. 두 변수가 동시에 커지는 경향이 있으면 공분산은 양수가 되고, 한쪽이 커질 때 다른 쪽이 작아지면 음수가 됩니다. 값이 0에 가까우면 두 변수 사이에 뚜렷한 선형 관계가 거의 없다고 볼 수 있습니다. 상관계수와 달리 공분산은 표준화되지 않기 때문에 그 크기는 데이터의 단위에 따라 달라집니다. 다만 부호만큼은 관계의 방향을 분명하게 알려줍니다.
이 계산기는 표본 공분산을 계산하며, n이 아니라 (n − 1)로 나눕니다. 흔히 베셀 보정(Bessel's correction)이라 부르는 이 (n − 1) 조정은 데이터가 더 큰 모집단에서 뽑은 표본일 때 편향 없는 추정값을 얻기 위한 것입니다.
계산기 사용법
- X 값을 쉼표로 구분해 입력하세요(예: 2, 4, 6, 8).
- Y 값을 같은 개수만큼 쉼표로 구분해 입력하세요(예: 1, 3, 2, 5).
- 계산 버튼을 누르면 표본 공분산이 표시됩니다.
각 X 값이 짝이 되는 Y 값과 1:1로 대응하므로, 두 목록의 값 개수는 반드시 같아야 합니다. 빈칸이나 불필요한 쉼표가 들어가지 않도록 주의하세요.
표본 공분산 공식
사용되는 공식은 다음과 같습니다.
$$\text{cov}(X, Y) = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \bar{x}\right)\left(y_i - \bar{y}\right)}{n - 1}$$
여기서 \(\bar{x}\)와 \(\bar{y}\)는 각각 X 값과 Y 값의 평균, \(n\)은 데이터 쌍의 개수입니다. 시그마(\(\Sigma\))는 각 점이 자기 평균에서 벗어난 편차끼리 곱한 값을 모두 더한다는 뜻입니다.
예제로 계산해 보기
X = 2, 4, 6, 8, Y = 1, 3, 2, 5라고 가정해 봅시다.
- X 평균 = 5, Y 평균 = 2.75
- 편차 곱의 합: $$(-3)(-1.75) + (-1)(0.25) + (1)(-0.75) + (3)(2.25) = 5.25 - 0.25 - 0.75 + 6.75 = 11$$
- (n − 1) = 3으로 나누면: $$\text{공분산} = \frac{11}{3} \approx 3.67$$
양수 결과는 X와 Y가 함께 커지는 경향이 있음을 보여 줍니다.
자주 묻는 질문
표본 공분산과 모집단 공분산은 어떻게 다른가요? 표본 공분산은 (n − 1)로 나누며, 데이터가 표본일 때 사용합니다. 모집단 공분산은 n으로 나누며, 전체 모집단의 데이터를 모두 가지고 있을 때 사용합니다.
공분산이 1보다 클 수 있나요? 네, 가능합니다. 공분산은 −1과 1 사이로 제한되지 않습니다. 그 범위는 상관계수에 해당하는 것이며, 공분산은 데이터의 규모에 따라 어떤 값이든 가질 수 있습니다.
공분산과 상관계수는 어떤 관계인가요? 상관계수는 공분산을 두 변수의 표준편차 곱으로 나눈 값으로, −1과 1 사이의 표준화된 값을 만들어 냅니다.
