ما هو التغاير (Covariance)؟
يقيس التغاير مدى تغيّر متغيّرين معًا. فعندما يميل المتغيّران إلى الارتفاع في الوقت نفسه يكون التغاير موجبًا، وعندما يرتفع أحدهما بينما ينخفض الآخر يكون التغاير سالبًا. أما القيمة القريبة من الصفر فتشير إلى ضعف العلاقة الخطية بين المتغيّرين. وبخلاف معامل الارتباط، فإن التغاير غير موحّد المقياس، لذا يتأثر حجمه بوحدات بياناتك — غير أن إشارته (موجبة أو سالبة) تظل تكشف لك اتجاه العلاقة.
تحسب هذه الأداة التغاير العيّني (Sample Covariance)، الذي يقسم على \((n - 1)\) بدلًا من \(n\). ويُعرف هذا التعديل باسم تصحيح بيسل (Bessel's correction)، وهو يمنحك تقديرًا غير متحيّز عندما تكون بياناتك عيّنة مسحوبة من مجتمع إحصائي أكبر.
كيفية استخدام الحاسبة
- أدخل قيم X في قائمة مفصولة بفواصل (مثال: 2، 4، 6، 8).
- أدخل قيم Y في قائمة مفصولة بفواصل وبالعدد نفسه (مثال: 1، 3، 2، 5).
- اضغط على زر الحساب لعرض التغاير العيّني.
يجب أن تحتوي القائمتان على العدد نفسه من القيم، لأن كل قيمة X تقترن بقيمة Y المقابلة لها. وتأكد من خلوّ المدخلات من الفراغات أو الفواصل الزائدة.
صيغة التغاير العيّني
الصيغة المستخدمة هي:
$$\text{cov}_{xy} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \bar{x}\right)\left(y_i - \bar{y}\right)}{n - 1}$$
حيث تمثّل \(\bar{x}\) و\(\bar{y}\) متوسّطي قيم X وY، وتمثّل \(n\) عدد الأزواج، بينما يجمع المقدار حاصل ضرب انحراف كل نقطة عن متوسّطها.
مثال محلول
لنفترض أن X = 2، 4، 6، 8 وأن Y = 1، 3، 2، 5.
- متوسّط X = 5؛ ومتوسّط Y = 2.75.
- حاصل ضرب الانحرافات: \((-3)(-1.75) + (-1)(0.25) + (1)(-0.75) + (3)(2.25) = 5.25 - 0.25 - 0.75 + 6.75 = 11\).
- القسمة على \((n - 1) = 3\): \(\text{التغاير} = 11 / 3 \approx 3.67\).
تؤكد النتيجة الموجبة أن X وY يميلان إلى الارتفاع معًا.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين التغاير العيّني والتغاير للمجتمع؟ يقسم التغاير العيّني على \((n - 1)\) ويُستخدم عندما تمثّل بياناتك عيّنة. أما تغاير المجتمع فيقسم على \(n\) ويُستخدم عندما تتوفر لديك بيانات المجتمع الإحصائي بأكمله.
هل يمكن أن يتجاوز التغاير الواحد الصحيح؟ نعم. فالتغاير غير محصور بين \(-1\) و\(1\) — هذا النطاق خاص بمعامل الارتباط. أما التغاير فقد يأخذ أي قيمة بحسب مقياس البيانات.
ما العلاقة بين التغاير والارتباط؟ الارتباط هو التغاير مقسومًا على حاصل ضرب الانحرافين المعياريين، مما ينتج قيمة موحّدة المقياس تتراوح بين \(-1\) و\(1\).
