حاسبة الانحراف المعياري

المتوسط	٣
التباين	٢٫٥
الوسيط	٣
القيمة الصغرى	١
القيمة الكبرى	٥
العدد	5
المجموع	١٥

ما الذي تقوم به هذه الحاسبة

تأخذ حاسبة الانحراف المعياري هذه قائمة الأرقام التي تُدخلها وتُعطيك على الفور الانحراف المعياري للعينة إلى جانب مجموعة كاملة من الإحصاءات الموجزة: المتوسط، والوسيط، والتباين، والقيمة الصغرى، والقيمة الكبرى، والعدد، والمجموع. صُممت لطلاب العلم والمحللين والباحثين، ولكل من يريد فهم مدى تشتت مجموعة من القيم دون الحاجة إلى فتح جدول بيانات.

طريقة الاستخدام

هناك حقل إدخال واحد فقط: أدخل الأرقام (مفصولة بفواصل). اكتب قيمك أو الصقها مفصولة بفواصل أو فواصل منقوطة أو مسافات — فالحاسبة مرنة في التعامل مع الفواصل وتتجاهل المدخلات الفارغة تلقائياً. على سبيل المثال، يمكنك إدخال 4, 8, 15, 16, 23, 42 ثم النقر على إرسال.

المتوسط – القيمة المتوسطة لجميع القيم
الوسيط – القيمة الوسطى (المئين الخمسون)
الانحراف المعياري – مقدار انحراف القيم عادةً عن المتوسط
التباين – مربع الانحراف المعياري
القيمة الصغرى والكبرى والعدد والمجموع – أرقام وصفية سريعة

شرح المعادلة

تعتمد الأداة على معادلة الانحراف المعياري للعينة:

$$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}$$

حيث يمثّل $x_i$ كل رقم، و$\bar{x}$ هو المتوسط، و$n$ هو العدد. لاحظ أن المقام هو $n - 1$ وليس $n$ — وهذا ما يُعرف بتصحيح بيسل (Bessel's correction)، الذي يمنحنا تقديراً غير متحيّز عندما تكون بياناتك عينة مأخوذة من مجتمع أكبر. أما التباين فهو ببساطة $s^2$.

مثال محلول

لنأخذ القيم 4, 8, 15, 16, 23, 42:

العدد = 6، المجموع = 108
المتوسط = 108 ÷ 6 = 18
مربعات الانحرافات: (4−18)² + (8−18)² + (15−18)² + (16−18)² + (23−18)² + (42−18)² = 196 + 100 + 9 + 4 + 25 + 576 = 910
التباين = 910 ÷ (6 − 1) = 182
الانحراف المعياري = √182 ≈ 13.49

أما الوسيط لهذه المجموعة فهو متوسط القيمتين الوسطيتين (15 و16) = 15.5.

اعلان

تفسير نتيجتك

الانحراف المعياري (SD) يخبرك بمدى بعد القيم الفردية، في المتوسط، عن متوسط مجموعة البيانات الخاصة بك. يتم الإبلاغ عنه بنفس الوحدات التي تُقاس بها بيانات، مما يجعله قابلاً للتفسير بشكل مباشر.

انحراف معياري أكبر — القيم أكثر تشتتاً وتختلف بشكل واسع حول المتوسط.
انحراف معياري أصغر — القيم تتجمع بإحكام بالقرب من المتوسط وتكون أكثر اتساقاً.
انحراف معياري يساوي 0 — كل قيمة متطابقة (لا توجد تباين على الإطلاق)، لذلك المتوسط يساوي كل قيمة.

لأن الانحراف المعياري يعتمد على مقياس البيانات، من الصعب مقارنة التشتت بين مجموعات البيانات المقاسة بوحدات مختلفة أو بمتوسطات مختلفة جداً. لهذا، استخدم معامل التباين (CV)، المعرّف بأنه الانحراف المعياري مقسوماً على المتوسط ويُعبّر عنه عادة كنسبة مئوية:

$$\text{CV} = \frac{s}{\bar{x}} \times 100\%$$

على سبيل المثال، مجموعة بيانات بـ $s = 6$ و $\bar{x} = 40$ لها CV بقيمة 15%، مما يعني أن التشتت يساوي 15% من المتوسط — وهو مقياس نسبي يمكنك مقارنته مع مجموعات البيانات على مقاييس مختلفة تماماً.

عندما تكون بيانات تقريباً بشكل جرسي (تقريباً موزعة بشكل طبيعي)، القاعدة التجريبية تعطيك فهماً سريعاً لكيفية ارتباط الانحراف المعياري بالتوزيع:

حوالي 68% من القيم تقع ضمن 1 انحراف معياري من المتوسط (بين $\bar{x}-s$ و $\bar{x}+s$).
حوالي 95% تقع ضمن 2 انحراف معياري من المتوسط.
حوالي 99.7% تقع ضمن 3 انحراف معياري من المتوسط.

لذلك بالنسبة للبيانات ذات المظهر الطبيعي مع $\bar{x}=100$ و $s=10$، تقريباً 95% من القيم ستقع بين 80 و 120. القيم التي تتجاوز 2–3 انحراف معياري نادرة وقد تستحق النظر كقيم شاذة محتملة.

التعاريف والمسرد

المتوسط ($\bar{x}$): المتوسط الحسابي — مجموع جميع القيم مقسوماً على العدد. إنها نقطة المركز التي يتم قياس الانحرافات منها.
الوسيط: القيمة الوسطى عندما يتم ترتيب البيانات؛ مع عدد زوجي فهو متوسط القيمتين الوسطيتين. تتأثر بشكل أقل بالقيم الشاذة من المتوسط.
الانحراف المعياري (s): المسافة النموذجية للقيم من المتوسط، بالوحدات الأصلية — الجذر التربيعي للتباين.
التباين ($s^2$): متوسط الانحرافات التربيعية من المتوسط (باستخدام $n-1$ للعينة). يكون بالوحدات المربعة، وهذا هو السبب في أن الانحراف المعياري يُفضل عادة للتفسير.
العينة مقابل السكان: العينة هي مجموعة جزئية مأخوذة من مجموعة أكبر وتقسم على $n-1$؛ السكان يشملون كل فرد ويقسمون على $n$. تحسب هذه الأداة الانحراف المعياري للعينة.
تصحيح بيسل ($n-1$): القسمة على $n-1$ بدلاً من $n$ عند استخدام عينة. يصحح اتجاه التباين في العينة إلى الاستهانة بالتباين الحقيقي للسكان.
الانحراف: الفرق بين قيمة فردية والمتوسط، $x_i - \bar{x}$. تربيع هذه الانحرافات هو جوهر حساب التباين.
العدد (n): عدد القيم المدخلة — حجم مجموعة البيانات الخاصة بك.
المجموع: إجمالي جميع القيم المضافة معاً؛ قسمته على العدد يعطي المتوسط.
الحد الأدنى: أصغر قيمة في مجموعة البيانات.
الحد الأقصى: أكبر قيمة في مجموعة البيانات؛ الحد الأقصى ناقص الحد الأدنى يعطي النطاق.

الأسئلة الشائعة

هل تستخدم الحاسبة الانحراف المعياري للعينة أم للمجتمع؟ تحسب الحاسبة الانحراف المعياري للعينة بالقسمة على $n - 1$. إذا كنت بحاجة إلى قيمة المجتمع (بالقسمة على $n$)، فإن الفرق يكون صغيراً مع مجموعات البيانات الكبيرة، لكنه أوضح مع المجموعات الصغيرة.

ما الفواصل التي يمكنني استخدامها؟ تعمل الفواصل والفواصل المنقوطة والمسافات وفواصل الأسطر جميعها، لذا يمكنك لصق عمود من جدول بيانات مباشرةً.

لماذا يُعرض التباين إلى جانب الانحراف المعياري؟ التباين هو مربع الانحراف المعياري، وهو مفيد في الاختبارات الإحصائية وتحليل التباين (ANOVA)، بينما يسهُل تفسير الانحراف المعياري لأنه يأتي بنفس وحدات بياناتك.