ما هي حاسبة المجموعات الجزئية؟
المجموعة الجزئية هي أي اختيار من عناصر مجموعة أكبر، بما في ذلك المجموعة الخالية والمجموعة نفسها. تجيب هذه الحاسبة عن سؤالين شائعين في علم التوافيق: كم عدد المجموعات الجزئية لمجموعة تضم n عنصرًا في المجموع، وكم عدد هذه المجموعات الجزئية التي تحتوي على k عنصرًا بالضبط. وهي أداة مفيدة للطلاب الذين يدرسون نظرية المجموعات والاحتمالات والرياضيات المتقطعة، وكذلك لكل من يرغب في حساب عدد التركيبات الممكنة.
كيفية الاستخدام
أدخل حجم المجموعة في الحقل n (عدد العناصر المتمايزة). تعرض الحاسبة فورًا العدد الإجمالي للمجموعات الجزئية، وهو يساوي \(2^n\)، إضافة إلى عدد المجموعات الجزئية الفعلية/غير الخالية، أي \(2^n - 1\). ويمكنك اختياريًا إدخال حجم المجموعة الجزئية k للحصول أيضًا على عدد المجموعات الجزئية التي تحتوي على k عنصرًا بالضبط، والمحسوب باستخدام معامل ذات الحدين \(C(n, k)\). اترك الحقل k فارغًا إذا كنت بحاجة إلى العدد الإجمالي فقط.
شرح الصيغة
يمكن إدراج كل عنصر من عناصر المجموعة في المجموعة الجزئية أو استبعاده منها بشكل مستقل — أي خياران لكل عنصر. ومع وجود n عنصرًا مستقلًا يصبح العدد الإجمالي
$$\text{Total Subsets} = 2 \times 2 \times \dots \times 2 = 2^n$$ولحساب المجموعات الجزئية ذات الحجم الثابت k نستخدم صيغة التوافيق
$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n - k)!}$$التي تختار k عنصرًا دون اعتبار للترتيب. وعند جمع \(C(n, k)\) لكل قيم k من 0 إلى n نحصل مجددًا على \(2^n\).
مثال محلول
لنفترض أن n = 5. يكون العدد الإجمالي للمجموعات الجزئية \(2^5 = 32\)، وعدد المجموعات الجزئية غير الخالية 31. أما عدد المجموعات الجزئية المكوّنة من عنصرين فهو
$$C(5, 2) = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10$$أي أنه يمكن تكوين 10 أزواج بالضبط من مجموعة تضم 5 عناصر.
الأسئلة الشائعة
هل يشمل العدد الإجمالي المجموعة الخالية؟ نعم. يشمل العدد \(2^n\) كلًا من المجموعة الخالية والمجموعة الكاملة. اطرح 1 للحصول على المجموعات الجزئية غير الخالية، أو 2 للحصول على المجموعات الجزئية الفعلية غير الخالية.
ماذا لو كان k أكبر من n؟ لا توجد مجموعات جزئية من هذا القبيل، لذا فإن \(C(n, k) = 0\) كلما كان \(k > n\) أو \(k < 0\).
لماذا يبلغ الحد الأقصى نحو 170؟ تنمو القيمتان \(2^n\) والمضروب بسرعة هائلة؛ فبعد n = 170 تقريبًا تتجاوز القيم النطاق الذي يمكن لأعداد الفاصلة العائمة القياسية تمثيله.
