ما هي طريقة FOIL؟
FOIL اختصار يساعدك على تذكّر خطوات ضرب مقدارين من ذات الحدين، وهي: F الأول (First)، O الخارجي (Outer)، I الداخلي (Inner)، L الأخير (Last). تضمن لك هذه الطريقة ضرب كل حدٍّ في المقدار الأول بكل حدٍّ في المقدار الثاني دون نسيان أي حاصل ضرب. تأخذ هذه الحاسبة الأعداد الأربعة \(a\) و\(b\) و\(c\) و\(d\) من المقدارين \((a + b)\) و\((c + d)\)، ثم تعرض كل ناتج جزئي إلى جانب المقدار الموسّع كاملًا.
طريقة الاستخدام
أدخل حدّي كل مقدار من ذات الحدين. فإذا أردت توسيع مقدار مثل \((2x + 3)(x - 4)\)، اضبط \(a = 2\)، و\(b = 3\)، و\(c = 1\)، و\(d = -4\). تعامل الحاسبة كلًّا من \(a\) و\(c\) كمعاملين للمتغير \(x\)، لذلك يظهر الناتج على صورة مقدار تربيعي: $$\text{a}\,\text{c}\cdot x^{2} + (\text{a}\,\text{d} + \text{b}\,\text{c})\cdot x + \text{b}\,\text{d}$$ أما في حالة الضرب العددي البحت فيكفيك قراءة النواتج الأربعة F/O/I/L وجمعها.
شرح القانون
تعطينا خاصية التوزيع: $$(a + b)(c + d) = a\cdot c + a\cdot d + b\cdot c + b\cdot d$$ وكل اقتران بين حرفين يقابل خطوة من FOIL: الأول \(= ac\)، والخارجي \(= ad\)، والداخلي \(= bc\)، والأخير \(= bd\). والناتجان الخارجي والداخلي هما الحدّان «الأوسطان» اللذان يُجمعان معًا عادةً.
مثال محلول
لنوسّع المقدار \((2x + 3)(x + 4)\): الأول \(F = 2\cdot 1 = 2\)، والخارجي \(O = 2\cdot 4 = 8\)، والداخلي \(I = 3\cdot 1 = 3\)، والأخير \(L = 3\cdot 4 = 12\). نجمع الحدين الأوسطين: \(8 + 3 = 11\). فيكون الناتج $$2x^{2} + 11x + 12$$
أمثلة عملية إضافية
يستخدم كل مثال نمط FOIL \((ax+b)(cx+d)=ac\,x^2+(ad+bc)x+bd\). لاحظ كيف تنتقل الإشارات عبر كل حاصل ضرب.
المثال 1: حد سالب — \((x-5)(x+2)\)
هنا \(a=1,\ b=-5,\ c=1,\ d=2\).
- الأول: \(x\cdot x = x^2\)
- الخارج: \(x\cdot 2 = 2x\)
- الداخل: \(-5\cdot x = -5x\)
- الأخير: \(-5\cdot 2 = -10\)
اجمع الحدود المتشابهة في الوسط \(2x-5x=-3x\):
$$ (x-5)(x+2) = x^2 - 3x - 10 $$
يمكنك التأكد من أن الحد الثلاثي \(x^2-3x-10\) ينقسم إلى هذه الحدود الثنائية باستخدام حاسبة التحليل.
المثال 2: فرق المربعات — \((x+3)(x-3)\)
هنا \(a=1,\ b=3,\ c=1,\ d=-3\).
- الأول: \(x\cdot x = x^2\)
- الخارج: \(x\cdot(-3) = -3x\)
- الداخل: \(3\cdot x = 3x\)
- الأخير: \(3\cdot(-3) = -9\)
تلغي الحدود الخارجية والداخلية بعضها: \(-3x+3x=0\)، مما يترك
$$ (x+3)(x-3) = x^2 - 9 $$
يوضح هذا قاعدة فرق المربعات \((x+n)(x-n)=x^2-n^2\).
المثال 3: مربع كامل — \((2x+1)^2\)
أعد الكتابة كـ \((2x+1)(2x+1)\)، إذاً \(a=2,\ b=1,\ c=2,\ d=1\).
- الأول: \(2x\cdot 2x = 4x^2\)
- الخارج: \(2x\cdot 1 = 2x\)
- الداخل: \(1\cdot 2x = 2x\)
- الأخير: \(1\cdot 1 = 1\)
اجمع \(2x+2x=4x\):
$$ (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 $$
هذا يطابق قاعدة المربع الكامل \((mx+n)^2 = m^2x^2 + 2mnx + n^2\).
كيفية تطبيق FOIL خطوة بخطوة
FOIL هي طريقة منظمة لتطبيق خاصية التوزيع على حدين ثنائيين \((ax+b)(cx+d)\). تمثل الأحرف الأول والخارج والداخل والأخير — الأزواج الأربعة من الحدود التي تضربها.
- اضرب الحدود الأولى. اضرب الحد الأول من كل حد ثنائي: \(ax\cdot cx = ac\,x^2\). هذا يعطي الحد المربع.
- اضرب الحدود الخارجية. اضرب الحدين على الخارج من التعبير: \(ax\cdot d = ad\,x\).
- اضرب الحدود الداخلية. اضرب الحدين على الداخل: \(b\cdot cx = bc\,x\).
- اضرب الحدود الأخيرة. اضرب الحد الأخير من كل حد ثنائي: \(b\cdot d = bd\). هذا هو الحد الثابت.
- اجمع الحدود المتشابهة في الوسط. يحتوي كل من حاصل الضرب الخارجي والداخلي على \(x\)، لذا أضفهما: \(ad\,x + bc\,x = (ad+bc)x\). انتبه جيداً للإشارات هنا.
- اكتب النتيجة كـ \(ax^2+bx+c\). جمّع القطع الثلاثة بالترتيب المعياري: $$ ac\,x^2 + (ad+bc)x + bd. $$
نصيحة: إذا كان الحدان الثنائيان متطابقين (مربع كامل) أو كانا مترافقين مثل \((x+n)(x-n)\)، فإن الحدود الوسطى إما تتضاعف أو تلغي بعضها — وهو فحص سريع للتأكد من أنك جمعتها بشكل صحيح.
المصطلحات الرئيسية
- حد ثنائي
- متعددة حدود لها حدان بالضبط مرتبطان بعلامة زائد أو ناقص، مثل \(x+3\) أو \(2x-5\).
- حد ثلاثي
- متعددة حدود لها ثلاثة حدود بالضبط، مثل \(x^2-3x-10\). عادة ما ينتج عن ضرب حدين ثنائيين حد ثلاثي.
- معامل
- العامل العددي الذي يضرب متغيراً في حد ما. في \(2x\) المعامل هو \(2\)؛ حد مثل \(x^2\) له معامل مفهوم وهو \(1\).
- حد
- رقم واحد أو متغير أو حاصل ضرب أرقام ومتغيرات مفصولة عن الآخرين بـ \(+\) أو \(-\). في \(x^2-3x-10\) الحدود هي \(x^2\) و\(-3x\) و\(-10\).
- FOIL
- جهاز تذكاري — الأول والخارج والداخل والأخير — للحاصل الضرب الأربع المتكونة عند ضرب حدين ثنائيين. إنها حالة خاصة من خاصية التوزيع.
- حدود متشابهة
- حدود لها نفس المتغير مرفوع إلى نفس الأس، حتى يمكن إضافتها أو طرحها. حاصل الضرب الخارجي والداخلي \(ad\,x\) و\(bc\,x\) حدود متشابهة وتتحد إلى \((ad+bc)x\).
- خاصية التوزيع
- القاعدة \(p(q+r)=pq+pr\). يطبق FOIL هذا مرتين بحيث يضرب كل حد في الحد الثنائي الأول كل حد في الحد الثنائي الثاني.
الأسئلة الشائعة
هل يمكنني استخدام أعداد سالبة؟ نعم، فقط أدخل إشارة الناقص، مثل \(d = -4\) للمقدار \((x - 4)\).
هل تعمل مع الأعداد المجردة؟ بالتأكيد. اضبط المعاملين على 1 (\(a = 1\)، \(c = 1\))، فيعرض لك جدول F/O/I/L النواتج الأربعة، ومجموعها هو إجابتك.
ماذا لو لم يكن هناك متغير x أصلًا؟ اضبط \(a = 1\) و\(c = 1\)؛ عندئذٍ يصبح حدّ \(x^{2}\) مساويًا 1، ويمكنك قراءة المجموع من الحدود المجمّعة.
