द्विपद गुणन (FOIL) कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

a (पहला पद, द्विपद 1)

b (दूसरा पद, द्विपद 1)

c (पहला पद, द्विपद 2)

d (दूसरा पद, द्विपद 2)

(a + b)(c + d) की गणना करता है। b और d को अचर पद तथा a, c को x के गुणांक मानें।

परिणाम

विस्तारित गुणनफल (FOIL)

1x² + 5x + 6

यह मानते हुए कि a, c, x के गुणांक हैं

F — पहला (ac)	1
O — बाहरी (ad)	3
I — भीतरी (bc)	2
L — अंतिम (bd)	6

FOIL विधि क्या है?

FOIL दो द्विपदों को गुणा करने का एक आसान तरीका याद रखने का संक्षिप्त नाम है: First (पहला), Outer (बाहरी), Inner (भीतरी), Last (अंतिम)। यह सुनिश्चित करता है कि पहले द्विपद का हर पद दूसरे द्विपद के हर पद से गुणा हो जाए। यह कैलकुलेटर द्विपदों \((a + b)\) और \((c + d)\) से चार संख्याएँ \(a\), \(b\), \(c\) और \(d\) लेता है और हर आंशिक गुणनफल के साथ-साथ पूरी तरह विस्तारित परिणाम दिखाता है।

FOIL विधि: \((a+b)(c+d)\) के पहले, बाहरी, भीतरी और अंतिम पद युग्म।

इसका उपयोग कैसे करें

प्रत्येक द्विपद के दोनों पद दर्ज करें। यदि आप \((2x + 3)(x - 4)\) जैसी कोई अभिव्यक्ति विस्तारित कर रहे हैं, तो \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 1\), \(d = -4\) रखें। कैलकुलेटर \(a\) और \(c\) को \(x\) के गुणांक मानता है, इसलिए उत्तर एक द्विघात के रूप में दिया जाता है: $$\text{a}\,\text{c}\cdot x^{2} + (\text{a}\,\text{d} + \text{b}\,\text{c})\cdot x + \text{b}\,\text{d}$$ केवल संख्यात्मक गुणन के लिए, बस चार F/O/I/L गुणनफल पढ़ें और उन्हें जोड़ दें।

सूत्र की व्याख्या

वितरण नियम के अनुसार $$\left(\text{a}x + \text{b}\right)\left(\text{c}x + \text{d}\right) = \text{a}\,\text{c}\,x^{2} + \left(\text{a}\,\text{d} + \text{b}\,\text{c}\right)x + \text{b}\,\text{d}$$ हर अक्षर-जोड़ी FOIL से मेल खाती है: \(\text{First} = \text{ac}\), \(\text{Outer} = \text{ad}\), \(\text{Inner} = \text{bc}\), \(\text{Last} = \text{bd}\)। Outer और Inner गुणनफल ही "मध्य" पद होते हैं, जिन्हें आमतौर पर जोड़कर एक कर दिया जाता है।

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बॉक्स (क्षेत्रफल) विधि वही चार गुणनफल देती है: \(\text{ac}\), \(\text{ad}\), \(\text{bc}\), \(\text{bd}\)।

हल किया हुआ उदाहरण

\((2x + 3)(x + 4)\) का विस्तार करें: \(F = 2\cdot 1 = 2\), \(O = 2\cdot 4 = 8\), \(I = 3\cdot 1 = 3\), \(L = 3\cdot 4 = 12\)। मध्य पदों को जोड़ें: \(8 + 3 = 11\)। परिणाम है $$2x^{2} + 11x + 12$$

अधिक कार्य किए गए उदाहरण

प्रत्येक उदाहरण FOIL पैटर्न \((ax+b)(cx+d)=ac\,x^2+(ad+bc)x+bd\) का उपयोग करता है। देखें कि कैसे चिन्ह हर उत्पाद के माध्यम से कैरी होते हैं।

उदाहरण 1: एक नकारात्मक पद — \((x-5)(x+2)\)

यहाँ \(a=1,\ b=-5,\ c=1,\ d=2\)।

• प्रथम: \(x\cdot x = x^2\)
• बाह्य: \(x\cdot 2 = 2x\)
• आंतरिक: \(-5\cdot x = -5x\)
• अंतिम: \(-5\cdot 2 = -10\)

मध्य पदों को जोड़ें \(2x-5x=-3x\):

$$ (x-5)(x+2) = x^2 - 3x - 10 $$

आप त्रिपद \(x^2-3x-10\) को गुणनखंडन कैलकुलेटर के साथ इन द्विपदों में वापस गुणनखंडित कर सकते हैं।

उदाहरण 2: वर्गों का अंतर — \((x+3)(x-3)\)

यहाँ \(a=1,\ b=3,\ c=1,\ d=-3\)।

• प्रथम: \(x\cdot x = x^2\)
• बाह्य: \(x\cdot(-3) = -3x\)
• आंतरिक: \(3\cdot x = 3x\)
• अंतिम: \(3\cdot(-3) = -9\)

बाह्य और आंतरिक पद रद्द हो जाते हैं: \(-3x+3x=0\), जिससे

$$ (x+3)(x-3) = x^2 - 9 $$

यह वर्गों का अंतर नियम \((x+n)(x-n)=x^2-n^2\) को दर्शाता है।

उदाहरण 3: एक पूर्ण वर्ग — \((2x+1)^2\)

\((2x+1)(2x+1)\) के रूप में फिर से लिखें, तो \(a=2,\ b=1,\ c=2,\ d=1\)।

• प्रथम: \(2x\cdot 2x = 4x^2\)
• बाह्य: \(2x\cdot 1 = 2x\)
• आंतरिक: \(1\cdot 2x = 2x\)
• अंतिम: \(1\cdot 1 = 1\)

\(2x+2x=4x\) को जोड़ें:

$$ (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 $$

यह पूर्ण वर्ग नियम \((mx+n)^2 = m^2x^2 + 2mnx + n^2\) से मेल खाता है।

FOIL को चरण दर चरण कैसे करें

FOIL दो द्विपदों \((ax+b)(cx+d)\) पर वितरण गुण लागू करने का एक क्रमबद्ध तरीका है। अक्षर First, Outer, Inner, Last के लिए खड़े हैं — चार जोड़ी पद जिन्हें आप गुणा करते हैं।

1. प्रथम पदों को गुणा करें। प्रत्येक द्विपद का पहला पद गुणा करें: \(ax\cdot cx = ac\,x^2\)। यह वर्ग पद देता है।
2. बाह्य पदों को गुणा करें। अभिव्यक्ति के बाहर दोनों पदों को गुणा करें: \(ax\cdot d = ad\,x\)।
3. आंतरिक पदों को गुणा करें। अंदर के दोनों पदों को गुणा करें: \(b\cdot cx = bc\,x\)।
4. अंतिम पदों को गुणा करें। प्रत्येक द्विपद का अंतिम पद गुणा करें: \(b\cdot d = bd\)। यह स्थिरांक पद है।
5. मध्य समान पदों को जोड़ें। बाह्य और आंतरिक उत्पाद दोनों में \(x\) है, तो इन्हें जोड़ें: \(ad\,x + bc\,x = (ad+bc)x\)। यहाँ चिन्हों पर ध्यान दें।
6. परिणाम को \(ax^2+bx+c\) के रूप में लिखें। तीनों भागों को मानक क्रम में असेंबल करें: $$ ac\,x^2 + (ad+bc)x + bd. $$

सुझाव: यदि दोनों द्विपद समान हैं (एक पूर्ण वर्ग) या \((x+n)(x-n)\) जैसे संयुग्म हैं, तो मध्य पद या तो दोगुने हो जाते हैं या रद्द हो जाते हैं — यह जाँचने का एक त्वरित तरीका है कि आपने उन्हें सही तरीके से जोड़ा है।

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मुख्य शर्तें

द्विपद

एक बहुपद जिसमें ठीक दो पद हों जो प्लस या माइनस चिन्ह से जुड़े हों, जैसे \(x+3\) या \(2x-5\)।

त्रिपद

एक बहुपद जिसमें ठीक तीन पद हों, जैसे \(x^2-3x-10\)। दो द्विपदों को गुणा करने से आमतौर पर एक त्रिपद प्राप्त होता है।

गुणांक

एक पद में चर को गुणा करने वाली संख्यात्मक प्रवृत्ति। \(2x\) में गुणांक 2 है; \(x^2\) जैसे एक पद का एक समझा हुआ गुणांक 1 है।

पद

एक एकल संख्या, चर, या संख्याओं और चरों का उत्पाद जो दूसरों से \(+\) या \(-\) से अलग हो। \(x^2-3x-10\) में पद \(x^2\), \(-3x\), और \(-10\) हैं।

FOIL

एक स्मरणीय चिन्ह — First, Outer, Inner, Last — दो द्विपदों को गुणा करते समय बनने वाले चार उत्पादों के लिए। यह वितरण गुण का एक विशेष मामला है।

समान पद

पद जिनमें एक ही चर हो जो एक ही शक्ति तक उठाया गया हो, इसलिए उन्हें जोड़ा या घटाया जा सकता है। बाह्य और आंतरिक उत्पाद \(ad\,x\) और \(bc\,x\) समान पद हैं और \((ad+bc)x\) में गठबंधन करते हैं।

वितरण गुण

नियम \(p(q+r)=pq+pr\)। FOIL इसे दो बार लागू करता है ताकि पहले द्विपद का हर पद दूसरे द्विपद के हर पद को गुणा करे।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या मैं ऋणात्मक संख्याएँ इस्तेमाल कर सकता हूँ? हाँ — ऋण चिह्न लगाकर दर्ज करें, जैसे \((x - 4)\) के लिए \(d = -4\)।

क्या यह केवल संख्याओं पर भी काम करता है? बिल्कुल। गुणांकों को 1 रखें (\(a = 1\), \(c = 1\)) और F/O/I/L तालिका चार गुणनफल देगी; उनका योग ही आपका उत्तर है।

अगर मेरे पास x बिल्कुल न हो तो? तब \(a = 1\) और \(c = 1\) रखें; \(x^{2}\) वाला पद 1 हो जाता है और आप संयुक्त पदों से कुल मान पढ़ सकते हैं।