什麼是 FOIL 法則？
FOIL 是用來展開兩個二項式相乘的口訣，分別代表 First（前項）、Outer（外項）、Inner（內項）、Last（後項）。只要依序套用，就能確保第一個二項式的每一項都和第二個二項式的每一項相乘，不會漏算。這個計算機會接收 \((a + b)\) 與 \((c + d)\) 這兩個二項式中的四個數字 \(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)，並列出每一項的部分乘積，以及完整展開後的結果。
使用方法
請輸入每個二項式的兩個項。舉例來說，若要展開 \((2x + 3)(x - 4)\)，就設定 \(a = 2\)、\(b = 3\)、\(c = 1\)、\(d = -4\)。計算機會把 \(a\) 與 \(c\) 視為 \(x\) 的係數，因此答案會以二次式的形式呈現：\(\text{a}\,\text{c}\cdot x^{2} + (\text{a}\,\text{d} + \text{b}\,\text{c})\cdot x + \text{b}\,\text{d}\)。如果只是純數字相乘，直接讀取 F／O／I／L 四個乘積再相加即可。
公式說明
根據分配律可得 $$\left(\text{a}x + \text{b}\right)\left(\text{c}x + \text{d}\right) = \text{a}\,\text{c}\,x^{2} + \left(\text{a}\,\text{d} + \text{b}\,\text{c}\right)x + \text{b}\,\text{d}$$ 每個字母配對正好對應 FOIL：First \(= \text{a}\,\text{c}\)、Outer \(= \text{a}\,\text{d}\)、Inner \(= \text{b}\,\text{c}\)、Last \(= \text{b}\,\text{d}\)。其中 Outer 與 Inner 這兩項通常就是可以合併的「中間項」。
實際範例
展開 \((2x + 3)(x + 4)\)：F \(= 2\cdot 1 = 2\)、O \(= 2\cdot 4 = 8\)、I \(= 3\cdot 1 = 3\)、L \(= 3\cdot 4 = 12\)。把中間兩項合併：\(8 + 3 = 11\)。最後得到 $$2x^{2} + 11x + 12$$
更多進展示例
每個示例都使用 FOIL 模式 \((ax+b)(cx+d)=ac\,x^2+(ad+bc)x+bd\)。觀察符號如何在每個乘積中進行。
示例 1：負項 — \((x-5)(x+2)\)
這裡 \(a=1,\ b=-5,\ c=1,\ d=2\)。
- 首項： \(x\cdot x = x^2\)
- 外項： \(x\cdot 2 = 2x\)
- 內項： \(-5\cdot x = -5x\)
- 末項： \(-5\cdot 2 = -10\)
合併相似的中間項 \(2x-5x=-3x\)：
$$ (x-5)(x+2) = x^2 - 3x - 10 $$
您可以使用因式分解計算器確認三項式 \(x^2-3x-10\) 能分解回這些二項式。
示例 2：平方差 — \((x+3)(x-3)\)
這裡 \(a=1,\ b=3,\ c=1,\ d=-3\)。
- 首項： \(x\cdot x = x^2\)
- 外項： \(x\cdot(-3) = -3x\)
- 內項： \(3\cdot x = 3x\)
- 末項： \(3\cdot(-3) = -9\)
外項和內項相消：\(-3x+3x=0\)，得到
$$ (x+3)(x-3) = x^2 - 9 $$
這說明了平方差公式 \((x+n)(x-n)=x^2-n^2\)。
示例 3：完全平方 — \((2x+1)^2\)
改寫為 \((2x+1)(2x+1)\)，所以 \(a=2,\ b=1,\ c=2,\ d=1\)。
- 首項： \(2x\cdot 2x = 4x^2\)
- 外項： \(2x\cdot 1 = 2x\)
- 內項： \(1\cdot 2x = 2x\)
- 末項： \(1\cdot 1 = 1\)
合併 \(2x+2x=4x\)：
$$ (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 $$
這符合完全平方公式 \((mx+n)^2 = m^2x^2 + 2mnx + n^2\)。
逐步 FOIL 方法
FOIL 是一種有序的方式，將分配律應用於兩個二項式 \((ax+b)(cx+d)\)。這些字母代表首項、外項、內項、末項——您要相乘的四對項。
- 相乘首項。相乘每個二項式的首項：\(ax\cdot cx = ac\,x^2\)。這給出平方項。
- 相乘外項。相乘表達式外側的兩項：\(ax\cdot d = ad\,x\)。
- 相乘內項。相乘內側的兩項：\(b\cdot cx = bc\,x\)。
- 相乘末項。相乘每個二項式的末項：\(b\cdot d = bd\)。這是常數項。
- 合併相似的中間項。外項和內項乘積都含有 \(x\)，所以相加：\(ad\,x + bc\,x = (ad+bc)x\)。這裡要特別注意符號。
- 將結果寫成 \(ax^2+bx+c\) 的形式。按標準順序組合三個部分：$$ ac\,x^2 + (ad+bc)x + bd. $$
提示：如果兩個二項式相同（完全平方）或是共軛如 \((x+n)(x-n)\)，中間項要麼相加要麼相消——這是驗證您正確合併它們的快速檢查。
關鍵術語
- 二項式
- 一個正好有兩項的多項式，由加號或減號連接，例如 \(x+3\) 或 \(2x-5\)。
- 三項式
- 一個正好有三項的多項式，例如 \(x^2-3x-10\)。將兩個二項式相乘通常會產生三項式。
- 係數
- 在一項中相乘變數的數值因子。在 \(2x\) 中係數是 \(2\)；像 \(x^2\) 這樣的項有隱含的係數 \(1\)。
- 項
- 一個單獨的數字、變數或數字和變數的乘積，由其他項用 \(+\) 或 \(-\) 分隔。在 \(x^2-3x-10\) 中的項是 \(x^2\)、\(-3x\) 和 \(-10\)。
- FOIL
- 一個助記符——首項、外項、內項、末項——代表將兩個二項式相乘時形成的四個乘積。這是分配律的特殊情況。
- 相似項
- 具有相同變數且變數乘以相同冪次的項，因此可以相加或相減。外項和內項乘積 \(ad\,x\) 和 \(bc\,x\) 是相似項，合併為 \((ad+bc)x\)。
- 分配律
- 規則 \(p(q+r)=pq+pr\)。FOIL 將其應用兩次，使第一個二項式中的每一項都與第二個二項式中的每一項相乘。
常見問題
可以輸入負數嗎？可以——直接加上負號即可，例如 \((x - 4)\) 就設定 \(d = -4\)。
純數字相乘也適用嗎？當然可以。把係數都設為 1（\(a = 1\)、\(c = 1\)），F／O／I／L 表格就會列出四個乘積，加總起來就是答案。
如果算式裡根本沒有 x 怎麼辦？那就把 \(a = 1\)、\(c = 1\)，這時 \(x^{2}\) 項的係數會變成 1，您可以直接從合併後的項讀取總和。
