Что такое метод FOIL?
FOIL — это англоязычное мнемоническое правило для умножения двух двучленов: First (первые), Outer (внешние), Inner (внутренние), Last (последние). Оно гарантирует, что каждый член первого двучлена будет умножен на каждый член второго — то, что в российской школе называют правилом раскрытия скобок. Калькулятор принимает четыре числа a, b, c и d из двучленов \((a + b)\) и \((c + d)\) и показывает каждое частичное произведение, а также полностью раскрытый результат.
Как пользоваться
Введите по два члена каждого двучлена. Если вы раскрываете, например, выражение \((2x + 3)(x - 4)\), задайте \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 1\), \(d = -4\). Калькулятор считает a и c коэффициентами при x, поэтому ответ выводится в виде квадратного трёхчлена: $$\text{a}\,\text{c}\,x^{2} + \left(\text{a}\,\text{d} + \text{b}\,\text{c}\right)x + \text{b}\,\text{d}.$$ Для чисто числового умножения просто прочитайте четыре произведения F/O/I/L и сложите их.
Разбор формулы
По распределительному закону $$\left(\text{a}x + \text{b}\right)\left(\text{c}x + \text{d}\right) = \text{a}\,\text{c}\,x^{2} + \left(\text{a}\,\text{d} + \text{b}\,\text{c}\right)x + \text{b}\,\text{d}.$$ Каждая пара букв соответствует одной части FOIL: First = \(\text{a}\,\text{c}\), Outer = \(\text{a}\,\text{d}\), Inner = \(\text{b}\,\text{c}\), Last = \(\text{b}\,\text{d}\). Внешнее и внутреннее произведения — это «средние» члены, которые обычно приводят к подобным и складывают.
Разобранный пример
Раскроем \((2x + 3)(x + 4)\): \(F = 2 \cdot 1 = 2\), \(O = 2 \cdot 4 = 8\), \(I = 3 \cdot 1 = 3\), \(L = 3 \cdot 4 = 12\). Складываем средние члены: \(8 + 3 = 11\). Получаем результат: $$2x^{2} + 11x + 12.$$
Частые вопросы
Можно ли использовать отрицательные числа? Да — поставьте знак минус, например \(d = -4\) для \((x - 4)\).
Работает ли это с обычными числами? Конечно. Задайте коэффициенты равными 1 (\(a = 1\), \(c = 1\)), и таблица F/O/I/L выдаст четыре произведения; их сумма и есть ответ.
А если переменной x вообще нет? Тогда задайте \(a = 1\) и \(c = 1\); член при \(x^{2}\) станет равным 1, и итог можно прочитать из суммы приведённых членов.
Дополнительные рабочие примеры
Каждый пример использует метод FOIL \((ax+b)(cx+d)=ac\,x^2+(ad+bc)x+bd\). Обратите внимание, как знаки переносятся через каждое произведение.
Пример 1: Отрицательный член — \((x-5)(x+2)\)
Здесь \(a=1,\ b=-5,\ c=1,\ d=2\).
- Первые: \(x\cdot x = x^2\)
- Внешние: \(x\cdot 2 = 2x\)
- Внутренние: \(-5\cdot x = -5x\)
- Последние: \(-5\cdot 2 = -10\)
Приведите подобные средние члены \(2x-5x=-3x\):
$$ (x-5)(x+2) = x^2 - 3x - 10 $$
Вы можете проверить, что трёхчлен \(x^2-3x-10\) раскладывается на эти двучлены с помощью калькулятора разложения.
Пример 2: Разность квадратов — \((x+3)(x-3)\)
Здесь \(a=1,\ b=3,\ c=1,\ d=-3\).
- Первые: \(x\cdot x = x^2\)
- Внешние: \(x\cdot(-3) = -3x\)
- Внутренние: \(3\cdot x = 3x\)
- Последние: \(3\cdot(-3) = -9\)
Внешние и внутренние члены сокращаются: \(-3x+3x=0\), остаётся
$$ (x+3)(x-3) = x^2 - 9 $$
Это иллюстрирует правило разности квадратов \((x+n)(x-n)=x^2-n^2\).
Пример 3: Полный квадрат — \((2x+1)^2\)
Перепишите как \((2x+1)(2x+1)\), тогда \(a=2,\ b=1,\ c=2,\ d=1\).
- Первые: \(2x\cdot 2x = 4x^2\)
- Внешние: \(2x\cdot 1 = 2x\)
- Внутренние: \(1\cdot 2x = 2x\)
- Последние: \(1\cdot 1 = 1\)
Приведите подобные \(2x+2x=4x\):
$$ (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 $$
Это соответствует правилу полного квадрата \((mx+n)^2 = m^2x^2 + 2mnx + n^2\).
Как применить FOIL пошагово
FOIL — это упорядоченный способ применения распределительного свойства к двум двучленам \((ax+b)(cx+d)\). Буквы обозначают First (Первые), Outer (Внешние), Inner (Внутренние), Last (Последние) — четыре пары членов, которые вы умножаете.
- Умножьте первые члены. Умножьте первый член каждого двучлена: \(ax\cdot cx = ac\,x^2\). Это даёт квадратный член.
- Умножьте внешние члены. Умножьте два члена снаружи выражения: \(ax\cdot d = ad\,x\).
- Умножьте внутренние члены. Умножьте два члена внутри: \(b\cdot cx = bc\,x\).
- Умножьте последние члены. Умножьте последний член каждого двучлена: \(b\cdot d = bd\). Это свободный член.
- Приведите подобные средние члены. Внешнее и внутреннее произведения оба содержат \(x\), поэтому сложите их: \(ad\,x + bc\,x = (ad+bc)x\). Внимательно следите за знаками здесь.
- Запишите результат как \(ax^2+bx+c\). Соберите три части в стандартном порядке: $$ ac\,x^2 + (ad+bc)x + bd. $$
Совет: если два двучлена одинаковые (полный квадрат) или являются сопряжёнными, как \((x+n)(x-n)\), средние члены либо удваиваются, либо сокращаются — быстрая проверка того, что вы правильно их привели.
Ключевые термины
- Двучлен
- Полином ровно с двумя членами, соединёнными знаком плюс или минус, например \(x+3\) или \(2x-5\).
- Трёхчлен
- Полином ровно с тремя членами, например \(x^2-3x-10\). Умножение двух двучленов обычно даёт трёхчлен.
- Коэффициент
- Числовой множитель, умножающий переменную в члене. В \(2x\) коэффициент равен \(2\); для члена вроде \(x^2\) коэффициент понимается как \(1\).
- Член
- Одно число, переменная или произведение чисел и переменных, отделённые от остальных знаками \(+\) или \(-\). В \(x^2-3x-10\) членами являются \(x^2\), \(-3x\) и \(-10\).
- FOIL
- Мнемоника — First (Первые), Outer (Внешние), Inner (Внутренние), Last (Последние) — для четырёх произведений, образуемых при умножении двух двучленов. Это частный случай распределительного свойства.
- Подобные члены
- Члены, у которых одна и та же переменная возведена в одну и ту же степень, поэтому их можно складывать или вычитать. Внешнее и внутреннее произведения \(ad\,x\) и \(bc\,x\) — это подобные члены и объединяются в \((ad+bc)x\).
- Распределительное свойство
- Правило \(p(q+r)=pq+pr\). FOIL применяет его дважды, чтобы каждый член первого двучлена умножался на каждый член второго.
