Qu'est-ce que la méthode FOIL ?
FOIL est un moyen mnémotechnique anglophone pour multiplier deux binômes : First (premiers termes), Outer (termes extérieurs), Inner (termes intérieurs) et Last (derniers termes). Cette astuce garantit que l'on multiplie bien chaque terme du premier binôme par chaque terme du second — c'est tout simplement l'application de la double distributivité enseignée en France. Ce calculateur prend les quatre nombres \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) des binômes \((a + b)\) et \((c + d)\), puis affiche chaque produit partiel ainsi que le résultat entièrement développé.
Comment l'utiliser
Saisissez les deux termes de chaque binôme. Pour développer une expression comme \((2x + 3)(x - 4)\), posez \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 1\) et \(d = -4\). Le calculateur considère \(a\) et \(c\) comme les coefficients de \(x\) ; le résultat est donc présenté sous forme de trinôme du second degré : $$\text{a}\,\text{c}\cdot x^{2} + \left(\text{a}\,\text{d} + \text{b}\,\text{c}\right)\cdot x + \text{b}\,\text{d}$$ Pour une simple multiplication numérique, il vous suffit de lire les quatre produits F/O/I/L et de les additionner.
La formule expliquée
La distributivité donne $$\left(\text{a}x + \text{b}\right)\left(\text{c}x + \text{d}\right) = \text{a}\,\text{c}\,x^{2} + \left(\text{a}\,\text{d} + \text{b}\,\text{c}\right)x + \text{b}\,\text{d}$$ Chaque couple de lettres correspond à une étape de FOIL : First \(= ac\), Outer \(= ad\), Inner \(= bc\), Last \(= bd\). Les produits Outer et Inner constituent les termes « du milieu », que l'on regroupe habituellement.
Exemple résolu
Développons \((2x + 3)(x + 4)\) : \(F = 2\cdot 1 = 2\), \(O = 2\cdot 4 = 8\), \(I = 3\cdot 1 = 3\), \(L = 3\cdot 4 = 12\). On combine les termes du milieu : \(8 + 3 = 11\). Le résultat est donc $$2x^{2} + 11x + 12$$
Plus d'exemples résolus
Chaque exemple utilise la formule FOIL \((ax+b)(cx+d)=ac\,x^2+(ad+bc)x+bd\). Observez comment les signes se propagent à travers chaque produit.
Exemple 1 : Un terme négatif — \((x-5)(x+2)\)
Ici \(a=1,\ b=-5,\ c=1,\ d=2\).
- Premier : \(x\cdot x = x^2\)
- Extérieur : \(x\cdot 2 = 2x\)
- Intérieur : \(-5\cdot x = -5x\)
- Dernier : \(-5\cdot 2 = -10\)
Combinez les termes du milieu semblables \(2x-5x=-3x\) :
$$ (x-5)(x+2) = x^2 - 3x - 10 $$
Vous pouvez confirmer que le trinôme \(x^2-3x-10\) se factorise en ces binômes avec la calculatrice de factorisation.
Exemple 2 : Différence de carrés — \((x+3)(x-3)\)
Ici \(a=1,\ b=3,\ c=1,\ d=-3\).
- Premier : \(x\cdot x = x^2\)
- Extérieur : \(x\cdot(-3) = -3x\)
- Intérieur : \(3\cdot x = 3x\)
- Dernier : \(3\cdot(-3) = -9\)
Les termes Extérieur et Intérieur s'annulent : \(-3x+3x=0\), ce qui donne
$$ (x+3)(x-3) = x^2 - 9 $$
Cela illustre la règle de différence de carrés \((x+n)(x-n)=x^2-n^2\).
Exemple 3 : Un carré parfait — \((2x+1)^2\)
Réécrivez comme \((2x+1)(2x+1)\), donc \(a=2,\ b=1,\ c=2,\ d=1\).
- Premier : \(2x\cdot 2x = 4x^2\)
- Extérieur : \(2x\cdot 1 = 2x\)
- Intérieur : \(1\cdot 2x = 2x\)
- Dernier : \(1\cdot 1 = 1\)
Combinez \(2x+2x=4x\) :
$$ (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 $$
Cela correspond à la règle de carré parfait \((mx+n)^2 = m^2x^2 + 2mnx + n^2\).
Comment appliquer FOIL étape par étape
FOIL est une façon ordonnée d'appliquer la propriété distributive à deux binômes \((ax+b)(cx+d)\). Les lettres représentent Premier, Extérieur, Intérieur, Dernier — les quatre paires de termes que vous multipliez.
- Multipliez les premiers termes. Multipliez le premier terme de chaque binôme : \(ax\cdot cx = ac\,x^2\). Cela donne le terme au carré.
- Multipliez les termes extérieurs. Multipliez les deux termes à l'extérieur de l'expression : \(ax\cdot d = ad\,x\).
- Multipliez les termes intérieurs. Multipliez les deux termes à l'intérieur : \(b\cdot cx = bc\,x\).
- Multipliez les derniers termes. Multipliez le dernier terme de chaque binôme : \(b\cdot d = bd\). C'est le terme constant.
- Combinez les termes du milieu semblables. Les produits Extérieur et Intérieur contiennent tous deux \(x\), donc additionnez-les : \(ad\,x + bc\,x = (ad+bc)x\). Faites très attention aux signes ici.
- Écrivez le résultat comme \(ax^2+bx+c\). Assemblez les trois éléments dans l'ordre standard : $$ ac\,x^2 + (ad+bc)x + bd. $$
Conseil : si les deux binômes sont identiques (un carré parfait) ou sont des conjugués comme \((x+n)(x-n)\), les termes du milieu se doublent ou s'annulent — une vérification rapide que vous les avez bien combinés.
Termes clés
- Binôme
- Un polynôme avec exactement deux termes joints par un signe plus ou moins, tel que \(x+3\) ou \(2x-5\).
- Trinôme
- Un polynôme avec exactement trois termes, tel que \(x^2-3x-10\). La multiplication de deux binômes produit généralement un trinôme.
- Coefficient
- Le facteur numérique multipliant une variable dans un terme. Dans \(2x\) le coefficient est \(2\) ; un terme comme \(x^2\) a un coefficient implicite de \(1\).
- Terme
- Un seul nombre, variable, ou produit de nombres et variables séparés des autres par \(+\) ou \(-\). Dans \(x^2-3x-10\) les termes sont \(x^2\), \(-3x\), et \(-10\).
- FOIL
- Un mnémonique — Premier, Extérieur, Intérieur, Dernier — pour les quatre produits formés lors de la multiplication de deux binômes. C'est un cas particulier de la propriété distributive.
- Termes semblables
- Les termes qui ont la même variable élevée à la même puissance, ils peuvent donc être additionnés ou soustraits. Les produits Extérieur et Intérieur \(ad\,x\) et \(bc\,x\) sont des termes semblables et se combinent en \((ad+bc)x\).
- Propriété distributive
- La règle \(p(q+r)=pq+pr\). FOIL l'applique deux fois pour que chaque terme du premier binôme multiplie chaque terme du second.
FAQ
Puis-je utiliser des nombres négatifs ? Oui — il suffit d'ajouter un signe moins, par exemple \(d = -4\) pour \((x - 4)\).
Cela fonctionne-t-il avec de simples nombres ? Tout à fait. Réglez les coefficients sur 1 (\(a = 1\), \(c = 1\)) : le tableau F/O/I/L vous donne les quatre produits, dont la somme constitue votre réponse.
Et s'il n'y a pas de \(x\) du tout ? Posez alors \(a = 1\) et \(c = 1\) ; le terme en \(x^{2}\) devient 1 et vous lisez le total à partir des termes combinés.
