什么是FOIL法？
FOIL是英语国家用来记忆二项式相乘步骤的口诀，取自四个单词的首字母：First（先，首项相乘）、Outer（外，外项相乘）、Inner（内，内项相乘）、Last（后，末项相乘）。它能确保你把第一个二项式中的每一项都与第二个二项式中的每一项相乘，一项都不会漏掉。本计算器读取二项式 \((a + b)\) 和 \((c + d)\) 中的四个数字 \(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)，分别列出四个部分积，并给出完整的展开结果。
如何使用
输入两个二项式各自的两项。例如要展开 \((2x + 3)(x - 4)\)，就设 \(a = 2\)，\(b = 3\)，\(c = 1\)，\(d = -4\)。计算器把 \(a\) 和 \(c\) 当作 \(x\) 的系数，因此结果会写成二次式的形式：$$\text{a}\,\text{c}\cdot x^{2} + \left(\text{a}\,\text{d} + \text{b}\,\text{c}\right)\cdot x + \text{b}\,\text{d}$$如果只是纯数字相乘，直接读取 F/O/I/L 四个乘积并相加即可。
公式详解
根据分配律，$$\left(\text{a}x + \text{b}\right)\left(\text{c}x + \text{d}\right) = \text{a}\,\text{c}\,x^{2} + \left(\text{a}\,\text{d} + \text{b}\,\text{c}\right)x + \text{b}\,\text{d}$$每一组字母正好对应FOIL口诀：First（先）= \(ac\)，Outer（外）= \(ad\)，Inner（内）= \(bc\)，Last（后）= \(bd\)。其中外项和内项的乘积就是通常需要合并的"中间项"。
例题演示
展开 \((2x + 3)(x + 4)\)：\(F = 2\cdot 1 = 2\)，\(O = 2\cdot 4 = 8\)，\(I = 3\cdot 1 = 3\)，\(L = 3\cdot 4 = 12\)。合并中间项：\(8 + 3 = 11\)。最终结果为 $$2x^{2} + 11x + 12$$
更多已做的例题
每个例题都使用FOIL模式\((ax+b)(cx+d)=ac\,x^2+(ad+bc)x+bd\)。注意符号如何贯穿每个乘积。
例1：一个负项——\((x-5)(x+2)\)
这里\(a=1,\ b=-5,\ c=1,\ d=2\)。
- 首项：\(x\cdot x = x^2\)
- 外项：\(x\cdot 2 = 2x\)
- 内项：\(-5\cdot x = -5x\)
- 末项：\(-5\cdot 2 = -10\)
合并类似的中间项\(2x-5x=-3x\)：
$$ (x-5)(x+2) = x^2 - 3x - 10 $$
你可以用因式分解计算器确认三项式\(x^2-3x-10\)分解回这些二项式。
例2：平方差——\((x+3)(x-3)\)
这里\(a=1,\ b=3,\ c=1,\ d=-3\)。
- 首项：\(x\cdot x = x^2\)
- 外项：\(x\cdot(-3) = -3x\)
- 内项：\(3\cdot x = 3x\)
- 末项：\(3\cdot(-3) = -9\)
外项和内项相消：\(-3x+3x=0\)，剩下
$$ (x+3)(x-3) = x^2 - 9 $$
这说明了平方差法则\((x+n)(x-n)=x^2-n^2\)。
例3：完全平方——\((2x+1)^2\)
改写为\((2x+1)(2x+1)\)，所以\(a=2,\ b=1,\ c=2,\ d=1\)。
- 首项：\(2x\cdot 2x = 4x^2\)
- 外项：\(2x\cdot 1 = 2x\)
- 内项：\(1\cdot 2x = 2x\)
- 末项：\(1\cdot 1 = 1\)
合并\(2x+2x=4x\)：
$$ (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 $$
这符合完全平方法则\((mx+n)^2 = m^2x^2 + 2mnx + n^2\)。
如何逐步进行FOIL
FOIL是将分配律有序地应用于两个二项式\((ax+b)(cx+d)\)的方法。这些字母代表首项、外项、内项、末项——你相乘的四对项。
- 相乘首项。相乘每个二项式的首项：\(ax\cdot cx = ac\,x^2\)。这给出了平方项。
- 相乘外项。相乘表达式外侧的两项：\(ax\cdot d = ad\,x\)。
- 相乘内项。相乘内侧的两项：\(b\cdot cx = bc\,x\)。
- 相乘末项。相乘每个二项式的末项：\(b\cdot d = bd\)。这是常数项。
- 合并类似的中间项。外项和内项的乘积都包含\(x\)，所以相加：\(ad\,x + bc\,x = (ad+bc)x\)。要特别注意这里的符号。
- 将结果写成\(ax^2+bx+c\)的形式。按标准顺序组合这三部分：$$ ac\,x^2 + (ad+bc)x + bd. $$
提示：如果两个二项式相同（完全平方）或者是共轭的如\((x+n)(x-n)\)，中间项要么相加倍增，要么相消——这是检验你是否正确合并它们的快速方法。
关键术语
- 二项式
- 恰好有两项的多项式，用加号或减号连接，如\(x+3\)或\(2x-5\)。
- 三项式
- 恰好有三项的多项式，如\(x^2-3x-10\)。两个二项式的乘积通常产生一个三项式。
- 系数
- 在一项中乘以变量的数值因子。在\(2x\)中系数是\(2\)；像\(x^2\)这样的项有一个隐含的系数\(1\)。
- 项
- 单个数字、变量或数字和变量的乘积，用\(+\)或\(-\)与其他项分开。在\(x^2-3x-10\)中，项是\(x^2\)、\(-3x\)和\(-10\)。
- FOIL
- 一个助记符——首项、外项、内项、末项——用于两个二项式相乘时形成的四个乘积。它是分配律的特殊情况。
- 类似项
- 具有相同变量提升到相同幂的项，因此可以相加或相减。外项和内项的乘积\(ad\,x\)和\(bc\,x\)是类似项，合并为\((ad+bc)x\)。
- 分配律
- 规则\(p(q+r)=pq+pr\)。FOIL应用它两次，使第一个二项式中的每一项乘以第二个二项式中的每一项。
常见问题
可以输入负数吗？可以，直接输入负号即可。例如要表示 \((x - 4)\)，就设 \(d = -4\)。
纯数字相乘也能用吗？完全可以。把系数都设为 1（\(a = 1\)，\(c = 1\)），F/O/I/L 表会给出四个乘积，它们的和就是答案。
如果题目里根本没有 x 怎么办？同样把 \(a = 1\)、\(c = 1\) 即可，此时 \(x^{2}\) 项的系数变为 1，你可以从合并后的各项中直接读取总和。
