FOIL法とは？
FOIL（フォイル）は、2つの二項式を掛け合わせるときの手順を覚えるための英語の頭文字です。First（最初）、Outer（外側）、Inner（内側）、Last（最後）の順に項を掛けていきます。この方法を使えば、1つ目の二項式のすべての項を2つ目の二項式のすべての項に確実に掛けることができます。本ツールでは、二項式 \((a + b)\) と \((c + d)\) を構成する4つの数 a・b・c・d を入力すると、それぞれの部分積と、完全に展開した結果が表示されます。
使い方
2つの二項式それぞれの項を入力します。たとえば \((2x + 3)(x - 4)\) を展開したい場合は、a = 2、b = 3、c = 1、d = −4 と設定します。本ツールでは a と c を x の係数として扱うため、答えは二次式 $$\text{a}\,\text{c}\cdot x^{2} + (\text{a}\,\text{d} + \text{b}\,\text{c})\cdot x + \text{b}\,\text{d}$$ の形で表示されます。単純な数値どうしの掛け算をしたい場合は、表示される F・O・I・L の4つの積をそのまま足し合わせれば求められます。
公式の解説
分配法則より、$$\left(\text{a}x + \text{b}\right)\left(\text{c}x + \text{d}\right) = \text{a}\,\text{c}\,x^{2} + \left(\text{a}\,\text{d} + \text{b}\,\text{c}\right)x + \text{b}\,\text{d}$$ となります。それぞれの組み合わせが FOIL に対応しています。First = \(\text{a}\text{c}\)、Outer = \(\text{a}\text{d}\)、Inner = \(\text{b}\text{c}\)、Last = \(\text{b}\text{d}\) です。Outer と Inner の積は「中間の項」にあたり、通常はこの2つをまとめて1つの項にします。
計算例
\((2x + 3)(x + 4)\) を展開してみましょう。\(F = 2\cdot 1 = 2\)、\(O = 2\cdot 4 = 8\)、\(I = 3\cdot 1 = 3\)、\(L = 3\cdot 4 = 12\) となります。中間の項をまとめると \(8 + 3 = 11\)。したがって結果は $$2x^{2} + 11x + 12$$ です。
さらに詳しい計算例
各例は分配公式 \((ax+b)(cx+d)=ac\,x^2+(ad+bc)x+bd\) を使用しています。符号がどのように各掛け算を通じて伝わるかを見てください。
例1：負の項 — \((x-5)(x+2)\)
ここで \(a=1,\ b=-5,\ c=1,\ d=2\) です。
- 最初の項： \(x\cdot x = x^2\)
- 外側の項： \(x\cdot 2 = 2x\)
- 内側の項： \(-5\cdot x = -5x\)
- 最後の項： \(-5\cdot 2 = -10\)
中間の同類項を計算します \(2x-5x=-3x\)：
$$ (x-5)(x+2) = x^2 - 3x - 10 $$
三次式 \(x^2-3x-10\) がこれらの二項式に因数分解されることを確認できます因数分解計算機を使って。
例2：平方差 — \((x+3)(x-3)\)
ここで \(a=1,\ b=3,\ c=1,\ d=-3\) です。
- 最初の項： \(x\cdot x = x^2\)
- 外側の項： \(x\cdot(-3) = -3x\)
- 内側の項： \(3\cdot x = 3x\)
- 最後の項： \(3\cdot(-3) = -9\)
外側と内側の項が相殺されます：\(-3x+3x=0\) となり、
$$ (x+3)(x-3) = x^2 - 9 $$
これは平方差の公式 \((x+n)(x-n)=x^2-n^2\) を示しています。
例3：完全平方 — \((2x+1)^2\)
\((2x+1)(2x+1)\) に書き換えます。その場合 \(a=2,\ b=1,\ c=2,\ d=1\) です。
- 最初の項： \(2x\cdot 2x = 4x^2\)
- 外側の項： \(2x\cdot 1 = 2x\)
- 内側の項： \(1\cdot 2x = 2x\)
- 最後の項： \(1\cdot 1 = 1\)
\(2x+2x=4x\) を計算します：
$$ (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 $$
これは完全平方の公式 \((mx+n)^2 = m^2x^2 + 2mnx + n^2\) と合致します。
FOILをステップバイステップで行う方法
FOILは、分配性を2つの二項式 \((ax+b)(cx+d)\) に適用する順序だった方法です。文字は最初、外側、内側、最後を意味しており、これらは掛ける4つの項のペアです。
- 最初の項を掛ける。各二項式の最初の項を掛けます：\(ax\cdot cx = ac\,x^2\)。これは二乗の項を与えます。
- 外側の項を掛ける。式の外側にある2つの項を掛けます：\(ax\cdot d = ad\,x\)。
- 内側の項を掛ける。内側にある2つの項を掛けます：\(b\cdot cx = bc\,x\)。
- 最後の項を掛ける。各二項式の最後の項を掛けます：\(b\cdot d = bd\)。これは定数項です。
- 中間の同類項を計算する。外側と内側の積の両方に \(x\) が含まれるので、それらを足します：\(ad\,x + bc\,x = (ad+bc)x\)。ここで符号に注意を払ってください。
- 結果を \(ax^2+bx+c\) の形で書く。3つの部分を標準的な順序で並べます：$$ ac\,x^2 + (ad+bc)x + bd. $$
ヒント：2つの二項式が同じもの（完全平方）または \((x+n)(x-n)\) のような共役である場合、中間の項は倍増されるか相殺されます。これは、それらを正しく計算したかどうかの簡単な確認です。
主要な用語
- 二項式
- プラスまたはマイナスの記号で結合された正確に2つの項を持つ多項式。例えば \(x+3\) または \(2x-5\) です。
- 三項式
- 正確に3つの項を持つ多項式。例えば \(x^2-3x-10\) です。2つの二項式を掛けると通常、三項式になります。
- 係数
- 多項式で変数を乗算する数値因子です。\(2x\) では係数は \(2\) です。\(x^2\) のような項には、理解された係数 \(1\) があります。
- 項
- 単一の数、変数、または数と変数の積で、他のものから \(+\) または \(-\) によって分離されたものです。\(x^2-3x-10\) では項は \(x^2\)、\(-3x\)、および \(-10\) です。
- FOIL
- ニーモニック — 最初、外側、内側、最後 — 2つの二項式を掛けるときに形成される4つの積です。これは分配性の特殊な場合です。
- 同類項
- 同じ変数が同じ累乗に上げられた項で、足したり引いたりすることができます。外側と内側の積 \(ad\,x\) および \(bc\,x\) は同類項であり、\((ad+bc)x\) に計算されます。
- 分配性
- 規則 \(p(q+r)=pq+pr\)。FOILはそれを2回適用して、最初の二項式のすべての項が2番目の二項式のすべての項を掛けられるようにします。
よくある質問
負の数も使えますか？ はい。マイナス記号を付けて入力してください。たとえば \((x - 4)\) なら d = −4 とします。
ただの数の掛け算にも使えますか？ もちろんです。係数を1に設定し（a = 1、c = 1）、F・O・I・L の表に表示される4つの積を足し合わせれば答えになります。
x がそもそも式に含まれていない場合は？ その場合も a = 1、c = 1 と設定してください。x² の項が1になり、まとめた項から合計を読み取ることができます。
