この計算ツールでできること
これはフェルマーの最終定理（フェルマー予想）にヒントを得た、初等整数論の探索ツールです。フェルマーの最終定理とは、整数 \(n \geq 3\) のとき \(X^n + Y^n = Z^n\) を満たす正の整数 \(X, Y, Z\) は存在しない、という定理です。本ツールはその左辺を「連続する n 個の n 乗の和」へと一般化し、次の命題を検証します——「a から始まる連続 n 個の n 乗の和が \(b^n\) に等しくなる自然数 \(a, b\) は、\(n \geq 4\) では存在しない」。指定した範囲内の各指数 \(n\) について、開始の底 \(a\) をすべて走査し、見つかった \((a, b)\) の組を報告します。その窓の中に解が無ければ「--」と表示します。
使い方
検証したい指数 \(n\) の下限と上限（\(n \geq 2\)）、および開始の底 \(a\) の下限と上限（\(a \geq 1\)）を入力します。ツールは各 \(n\) についてループ処理を行い、\(a\) ごとに \(S = a^n + (a+1)^n + \ldots + (a+n-1)^n\) を計算し、\(S\) の整数 \(n\) 乗根を求め、多倍長整数演算で厳密に検証します。なお \(S\) は急激に増大するため、広い範囲を指定すると計算に時間がかかる点にご注意ください。
計算式の解説
方程式は、\(j = 0\) から \(n-1\) までの \((a + j)^n\) の総和です。
$$\sum_{j=0}^{n-1}\left(a+j\right)^{n} = b^{n}, \qquad \begin{aligned} n &\in \left[\text{n Start},\, \text{n End}\right] \\ a &\in \left[\text{a Start},\, \text{a End}\right] \end{aligned}$$浮動小数点演算による「偽の一致」を避けるため、本ツールは \(S\) を厳密な多倍長整数として計算し、二分法で候補となる根 \(b\) を導いたうえで、\(b-1\)・\(b\)・\(b+1\) を \(b^n == S\) の厳密判定で再検証します。小さな \(n\) には既知の解があります——\(n = 2\) では \(3^2 + 4^2 = 5^2\)、\(20^2 + 21^2 = 29^2\)、\(n = 3\) では \(3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3\) がその例です。
計算例
nStart = 3、nEnd = 3、aStart = 1、aEnd = 10 と設定します。\(a = 3\) のとき $$S = 27 + 64 + 125 = 216$$ となり、216 の整数立方根は 6 で、\(6^3 = 216\) が成立します。ツールは \(n = 3 \rightarrow a = 3, b = 6\) と記録します。
よくある質問
この計算で命題は証明できますか？ いいえ。あくまで有限の窓の中で反例を探索するだけであり、反例が見つからなくてもそれは証明にはなりません。
なぜ \(n = 2\) や \(n = 3\) も指定できるのですか？ これらの場合には既知の解が存在するため、命題の対象が \(n \geq 4\) であっても、実際の解を確かめて見せられるようにしています。
なぜタイムアウトすることがあるのですか？ 和はおおむね \(n \cdot (a + n)^n\) のように増大するため、広い範囲を指定すると数値が膨大になります。範囲は控えめに設定してください。
