Qué hace esta calculadora
Se trata de una herramienta de búsqueda recreativa dentro de la teoría de números, inspirada en el Último Teorema de Fermat. El teorema de Fermat afirma que, para todo entero \(n \ge 3\), no existen enteros positivos \(X, Y, Z\) tales que \(X^n + Y^n = Z^n\). Esta herramienta generaliza el lado izquierdo de la igualdad convirtiéndolo en una suma de \(n\) potencias n-ésimas consecutivas y pone a prueba la siguiente conjetura: no existen números naturales \(a, b\) tales que la suma de \(n\) potencias n-ésimas consecutivas a partir de \(a\) sea igual a \(b^n\), cuando \(n \ge 4\). Para cada exponente \(n\) dentro de tu rango, la calculadora recorre todas las bases iniciales \(a\) de tu rango e informa de cualquier par \((a, b)\) que encuentre, o muestra "--" cuando no hay ninguno en esa ventana.
Cómo usarla
Introduce el exponente \(n\) mínimo y máximo que quieras probar (\(n \ge 2\)), así como la base inicial \(a\) mínima y máxima (\(a \ge 1\)). La herramienta itera sobre cada \(n\) y, para cada \(a\), calcula $$S = a^n + (a+1)^n + \ldots + (a+n-1)^n,$$ halla la raíz n-ésima entera de \(S\) y la verifica de forma exacta mediante aritmética de enteros grandes. Ten en cuenta que explorar rangos amplios es lento, porque \(S\) crece a una velocidad enorme.
La fórmula explicada
La ecuación es $$\sum_{j=0}^{n-1}\left(a+j\right)^{n} = b^{n}.$$ Para evitar falsos positivos por errores de coma flotante, la herramienta calcula \(S\) como un entero grande exacto, obtiene una raíz candidata \(b\) por bisección y luego vuelve a comprobar \(b-1\), \(b\) y \(b+1\) con la verificación exacta \(b^n = S\). Existen soluciones conocidas para valores pequeños de \(n\): con \(n = 2\) tenemos \(3^2 + 4^2 = 5^2\) y \(20^2 + 21^2 = 29^2\); con \(n = 3\) tenemos \(3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3\).
Ejemplo resuelto
Fija nStart = 3, nEnd = 3, aStart = 1, aEnd = 10. En \(a = 3\): $$S = 27 + 64 + 125 = 216,$$ y la raíz cúbica entera de 216 es 6, con \(6^3 = 216\). La herramienta registra \(n = 3 \rightarrow a = 3, b = 6\).
Preguntas frecuentes
¿Esto demuestra la conjetura? No. Solo explora una ventana finita en busca de contraejemplos; no encontrar ninguno no constituye una demostración.
¿Por qué permite \(n = 2\) y \(n = 3\)? Esos casos tienen soluciones conocidas, así que la herramienta puede mostrarlas aunque la afirmación de "sin solución" solo se refiera a \(n \ge 4\).
¿Por qué podría agotarse el tiempo? La suma crece aproximadamente como \(n \cdot (a + n)^n\), de modo que los rangos grandes generan números descomunales; mantén los rangos moderados.
