Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula la fila completa de los números de Stirling de primera especie con signo, que se escriben \(s(n,k)\), para el número entero no negativo \(n\) que indiques. Devuelve todos los valores para \(k = 0, 1, 2, ..., n\) en una tabla, junto con la suma con signo de la fila y la suma de los valores absolutos. Aquí se emplea el convenio con signo: \(s(n,k)\) puede ser positivo o negativo. Los números sin signo (o «recuento de ciclos») \(c(n,k) = |s(n,k)|\) cuentan las permutaciones de \(n\) elementos que tienen exactamente \(k\) ciclos disjuntos, y se relacionan mediante \(s(n,k) = (-1)^{n-k} c(n,k)\).
La fórmula
Los números de Stirling de primera especie con signo son los coeficientes del desarrollo del factorial decreciente \((x)_n = x(x-1)(x-2)...(x-n+1) = \sum_k s(n,k) x^k\). Cumplen la recurrencia $$s(n,k) = s(n-1,k-1) - (n-1)\,s(n-1,k)$$ con los casos base \(s(0,0) = 1\), \(s(n,0) = 0\) para \(n \ge 1\), y \(s(n,k) = 0\) cuando \(k < 0\) o \(k > n\). Ten en cuenta que \(s(n,n) = 1\) siempre.
Cómo usarla
Introduce un número entero \(n\) entre 0 y 25 y pulsa calcular. La herramienta construye las filas por programación dinámica partiendo de \([1]\) para \(n = 0\) y devuelve la fila final. Usa la suma con signo (que vale 0 para \(n \ge 2\)) y la suma absoluta (igual a \(n!\)) como comprobaciones rápidas de que el resultado es correcto.
Ejemplo resuelto (n = 5)
Construcción de las filas: \(n=1\) da \([0, 1]\); \(n=2\) da \([0, -1, 1]\); \(n=3\) da \([0, 2, -3, 1]\); \(n=4\) da \([0, -6, 11, -6, 1]\); y \(n=5\) da \([0, 24, -50, 35, -10, 1]\). Comprobación: $$|0|+|24|+|50|+|35|+|10|+|1| = 120 = 5!,$$ y la suma con signo $$0+24-50+35-10+1 = 0.$$
Preguntas frecuentes
¿Con signo o sin signo? Esta herramienta devuelve los valores con signo. Para obtener los recuentos de ciclos sin signo \(c(n,k)\), toma los valores absolutos.
¿Por qué la suma con signo es igual a 0? Al sustituir \(x = 1\) en el factorial decreciente se obtiene \((1)_n = 0\) para \(n \ge 2\), que coincide con la suma de la fila de \(s(n,k)\).
¿Por qué hay un límite máximo para n? Los valores crecen de forma factorial, así que las magnitudes se vuelven enormes muy deprisa; \(n\) se limita a 25 para mantener la tabla legible y la aritmética fiable.
