Số Stirling loại một (Bảng)

Nhập phép tính

n (chỉ số hàng) Số nguyên không âm (0 đến 25). Công cụ trả về số Stirling loại một CÓ DẤU s(n,k) với k = 0..n.

Kết quả

Signed Stirling numbers of the first kind, row n = 5

s(5, k) for k = 0 ... 5

Quy ước có dấu: s(n,k) = (-1)^(n-k) c(n,k)

k	s(n, k)
0	0
1	24
2	-50
3	35
4	-10
5	1
Tổng có dấu	0
Tổng trị tuyệt đối (= n!)	120

Công cụ này làm gì

Công cụ tính toàn bộ hàng số Stirling loại một có dấu, ký hiệu \(s(n,k)\), với số nguyên không âm \(n\) mà bạn nhập vào. Kết quả trả về mọi giá trị ứng với \(k = 0, 1, 2, \ldots, n\) dưới dạng bảng, kèm theo tổng có dấu của hàng và tổng các trị tuyệt đối. Ở đây ta dùng quy ước có dấu: \(s(n,k)\) có thể dương hoặc âm. Các số không dấu (hay còn gọi là "số đếm chu trình") \(c(n,k) = |s(n,k)|\) đếm số hoán vị của \(n\) phần tử có đúng \(k\) chu trình rời nhau, và liên hệ với nhau qua công thức \(s(n,k) = (-1)^{n-k} c(n,k)\).

Công thức

Số Stirling loại một có dấu chính là các hệ số trong khai triển của giai thừa giảm \((x)_n = x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1) = \sum_k s(n,k)\, x^k\). Chúng thỏa mãn hệ thức truy hồi $$s(n,k) = s(n-1,k-1) - (n-1)\,s(n-1,k),$$ với các trường hợp cơ sở \(s(0,0) = 1\), \(s(n,0) = 0\) khi \(n \geq 1\), và \(s(n,k) = 0\) khi \(k < 0\) hoặc \(k > n\). Lưu ý rằng \(s(n,n)\) luôn bằng \(1\).

Công thức truy hồi tạo mỗi phần tử từ hai ô ở hàng trên: \(s(n-1,k-1)\) và \(s(n-1,k)\).

Cách sử dụng

Nhập một số nguyên \(n\) từ \(0\) đến \(25\) rồi gửi đi. Công cụ dựng các hàng bằng quy hoạch động, bắt đầu từ \([1]\) với \(n = 0\) và đọc ra hàng cuối cùng. Bạn có thể dùng tổng có dấu (bằng \(0\) khi \(n \geq 2\)) và tổng trị tuyệt đối (bằng \(n!\)) để kiểm tra nhanh tính đúng đắn của kết quả.

Quảng cáo

Ví dụ minh họa (n = 5)

Dựng các hàng lần lượt: \(n=1\) cho \([0, 1]\); \(n=2\) cho \([0, -1, 1]\); \(n=3\) cho \([0, 2, -3, 1]\); \(n=4\) cho \([0, -6, 11, -6, 1]\); và \(n=5\) cho \([0, 24, -50, 35, -10, 1]\). Kiểm tra lại: $$|0|+|24|+|50|+|35|+|10|+|1| = 120 = 5!,$$ còn tổng có dấu $$0+24-50+35-10+1 = 0.$$

Hàng \(n = 5\): các giá trị \(0, 24, -50, 35, -10, 1\) với dấu xen kẽ qua \(k = 0..5\).

Câu hỏi thường gặp

Có dấu hay không dấu? Công cụ này trả về các giá trị có dấu. Muốn lấy số đếm chu trình không dấu \(c(n,k)\), bạn chỉ cần lấy trị tuyệt đối.

Vì sao tổng có dấu lại bằng 0? Thay \(x = 1\) vào giai thừa giảm ta được \((1)_n = 0\) với \(n \geq 2\), và giá trị này chính bằng tổng các phần tử trong hàng \(s(n,k)\).

Vì sao giới hạn n tối đa? Các giá trị tăng theo kiểu giai thừa, nên độ lớn phình to rất nhanh; vì vậy \(n\) được giới hạn ở \(25\) để bảng dễ đọc và phép tính giữ được độ chính xác.