Đa thức Chebyshev loại 1 là gì?
Đa thức Chebyshev loại 1, ký hiệu \(T_n(x)\), là một họ đa thức trực giao xuất hiện rộng rãi trong giải tích số, lý thuyết xấp xỉ, xử lý tín hiệu và thiết kế bộ lọc số. Công cụ này lập bảng các giá trị \(T_n(x)\) trên một khoảng x mà bạn chọn (kèm đường cong tùy chọn), dựa vào bậc \(n\), giá trị x ban đầu, bước nhảy và số dòng cần tạo. Đây là một công cụ toán học thuần túy, áp dụng được ở mọi nơi và không phụ thuộc vào quy định của bất kỳ quốc gia nào.
Cách sử dụng
Nhập bậc \(n\) (một số nguyên không âm như 0, 1, 2, 3…). Đặt giá trị x ban đầu (miền chuẩn là từ -1 đến 1, tuy công thức truy hồi vẫn áp dụng được cho mọi số thực x). Chọn bước nhảy (step) cộng thêm vào x ở mỗi dòng, và số dòng cần tạo. Cấu hình mặc định với initialX = -1, step = 0,02, rows = 101 sẽ chạy x từ -1,00 đến +1,00 (bao gồm cả hai đầu mút).
Công thức
Phương pháp ổn định được dùng ở đây là công thức truy hồi ba số hạng:
$$T_n(x) = 2x\,T_{n-1}(x) - T_{n-2}(x)$$$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} T_0(x) &= 1, \quad T_1(x) = x \\ n &= \text{Degree } n \\ x_k &= \text{Initial } x + k\cdot\text{Step} \\ k &= 0,\,1,\,\dots,\,\text{Rows}-1 \end{aligned} \right.$$
\(T_0(x) = 1\), \(T_1(x) = x\), và \(T_k(x) = 2x \cdot T_{k-1}(x) - T_{k-2}(x)\) với \(k \ge 2\).
Tương đương, trên đoạn \(-1 \le x \le 1\) ta có dạng lượng giác \(T_n(x) = \cos(n \cdot \arccos x)\). Một vài đa thức đầu tiên viết tường minh là \(T_2(x) = 2x^2 - 1\), \(T_3(x) = 4x^3 - 3x\), và \(T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1\). Trên đoạn \([-1, 1]\), các giá trị luôn thỏa mãn \(|T_n(x)| \le 1\); ra ngoài dải này, độ lớn tăng rất nhanh.
Ví dụ minh họa
Với \(n = 3\), đa thức là \(T_3(x) = 4x^3 - 3x\). Tại \(x = -1\): \(4(-1) - 3(-1) = -1\). Tại \(x = -0{,}5\): \(4(-0{,}125) + 1{,}5 = 1\). Tại \(x = 0\): \(0\). Tại \(x = 0{,}5\): \(0{,}5 - 1{,}5 = -1\). Tại \(x = 1\): \(4 - 3 = 1\). Vậy bảng với initialX = -1, step = 0,5, rows = 5 cho ra dãy -1, 1, 0, -1, 1.
Câu hỏi thường gặp
n có thể bằng 0 không? Có. \(T_0(x) = 1\) với mọi x, nên mọi dòng đều hiển thị 1.
x có thể vượt ra ngoài [-1, 1] không? Có — công thức truy hồi vẫn tính ra giá trị đúng (có thể rất lớn); chỉ riêng dạng lượng giác mới bị giới hạn ở \(|x| \le 1\).
Nếu bước nhảy bằng 0 thì sao? Mọi dòng sẽ lặp lại cùng một giá trị x — điều này được chấp nhận nhưng tạo ra một bảng có giá trị không đổi.
