第1種チェビシェフ多項式とは
第1種チェビシェフ多項式 \(T_n(x)\) は、数値解析・近似理論・信号処理・デジタルフィルタ設計など幅広い分野に登場する直交多項式の一群です。本ツールでは、次数 \(n\)、xの初期値、刻み幅、行数を指定すると、選んだxの範囲にわたって \(T_n(x)\) の値の数表を作成し、必要に応じて曲線も描画します。純粋に数学的なツールであり、国や地域による違いはなく、どこでも同じように利用できます。
使い方
次数 \(n\)（0, 1, 2, 3… のような非負整数）を入力します。次に、xの初期値を設定します（標準的な定義域は -1 から 1 ですが、漸化式は任意の実数xで成り立ちます）。各行ごとにxへ加える増分（刻み幅）と、生成する行数（繰り返し回数）を選びます。初期値 -1、刻み 0.02、行数 101 という既定値では、xが -1.00 から +1.00 まで（両端を含む）変化します。
計算式
本ツールで用いている安定した方法は、次の3項漸化式です。
$$T_0(x) = 1,\quad T_1(x) = x,\quad \text{そして } k \ge 2 \text{ のとき}\quad T_k(x) = 2x \cdot T_{k-1}(x) - T_{k-2}(x).$$
また、区間 \(-1 \le x \le 1\) では三角関数による表現 $$T_n(x) = \cos(n \cdot \arccos x)$$ が成り立ちます。最初のいくつかの多項式を具体的に書くと、\(T_2(x) = 2x^2 - 1\)、\(T_3(x) = 4x^3 - 3x\)、\(T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1\) です。区間 \([-1, 1]\) では常に \(|T_n(x)| \le 1\) が成り立ち、この帯域の外では値が急速に大きくなります。
計算例
\(n = 3\) のとき、多項式は \(T_3(x) = 4x^3 - 3x\) です。\(x = -1\) のとき：$$4(-1) - 3(-1) = -1.$$ \(x = -0.5\) のとき：$$4(-0.125) + 1.5 = 1.$$ \(x = 0\) のとき：\(0\)。\(x = 0.5\) のとき：$$0.5 - 1.5 = -1.$$ \(x = 1\) のとき：$$4 - 3 = 1.$$ したがって、初期値 \(-1\)、刻み \(0.5\)、行数 \(5\) の数表は、\(-1,\ 1,\ 0,\ -1,\ 1\) という数列になります。
よくある質問
n を 0 にできますか？ はい。\(T_0(x) = 1\) がすべてのxで成り立つため、どの行も値は 1 になります。
x は [−1, 1] の外に出せますか？ はい。漸化式は範囲外でも正しい値（場合によっては非常に大きな値）を計算します。三角関数による表現だけが \(|x| \le 1\) に限定されます。
刻み幅を 0 にするとどうなりますか？ どの行も同じxの値を繰り返します。これも許容されますが、定数だけの数表になります。
