Что такое многочлен Чебышёва первого рода?
Многочлены Чебышёва первого рода, обозначаемые \(T_n(x)\), — это семейство ортогональных многочленов, которые встречаются повсюду в численных методах, теории приближений, обработке сигналов и при проектировании цифровых фильтров. Этот калькулятор строит таблицу значений \(T_n(x)\) на выбранном диапазоне \(x\) (и при желании сразу показывает форму кривой) по заданным степени \(n\), начальному значению \(x\), шагу и количеству строк. Это чисто математический инструмент, который работает одинаково для всех — никаких региональных правил здесь нет.
Как пользоваться
Введите степень \(n\) — целое неотрицательное число (0, 1, 2, 3 и так далее). Задайте начальное значение \(x\) (классическая область определения — от −1 до 1, хотя рекуррентная формула справедлива для любого вещественного \(x\)). Выберите шаг (приращение), которое прибавляется к \(x\) в каждой следующей строке, и число строк, которые нужно сгенерировать. Значения по умолчанию \(\text{initialX} = -1\), \(\text{step} = 0.02\), \(\text{rows} = 101\) проводят \(x\) от −1.00 до +1.00 включительно.
Формула
В основе расчёта лежит устойчивая трёхчленная рекуррентная формула:
$$T_n(x) = 2x\,T_{n-1}(x) - T_{n-2}(x)$$$$\text{где}\quad \left\{ \begin{aligned} T_0(x) &= 1, \quad T_1(x) = x \\ n &= \text{Степень } n \\ x_k &= \text{Начальный } x + k\cdot\text{Шаг} \\ k &= 0,\,1,\,\dots,\,\text{Строки}-1 \end{aligned} \right.$$
\(T_0(x) = 1\), \(T_1(x) = x\), а \(T_k(x) = 2x \cdot T_{k-1}(x) - T_{k-2}(x)\) при \(k \ge 2\).
Эквивалентно, на отрезке \(-1 \le x \le 1\) справедлива тригонометрическая запись \(T_n(x) = \cos(n \cdot \arccos x)\). Первые несколько многочленов в явном виде: \(T_2(x) = 2x^2 - 1\), \(T_3(x) = 4x^3 - 3x\) и \(T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1\). На отрезке \([-1, 1]\) всегда выполняется \(|T_n(x)| \le 1\); за его пределами значения растут очень быстро.
Разбор примера
При \(n = 3\) многочлен равен \(T_3(x) = 4x^3 - 3x\). При \(x = -1\): \(4(-1) - 3(-1) = -1\). При \(x = -0.5\): \(4(-0.125) + 1.5 = 1\). При \(x = 0\): \(0\). При \(x = 0.5\): \(0.5 - 1.5 = -1\). При \(x = 1\): \(4 - 3 = 1\). Таким образом, таблица с \(\text{initialX} = -1\), \(\text{step} = 0.5\), \(\text{rows} = 5\) даёт последовательность \(-1,\ 1,\ 0,\ -1,\ 1\).
Частые вопросы
Может ли \(n\) быть нулём? Да. \(T_0(x) = 1\) при любом \(x\), поэтому в каждой строке будет стоять единица.
Можно ли выходить за пределы \([-1, 1]\)? Да — рекуррентная формула по-прежнему даёт верные (хотя и, возможно, большие) значения; ограничение \(|x| \le 1\) относится только к тригонометрической записи.
Что, если шаг равен нулю? Тогда во всех строках повторяется одно и то же значение \(x\) — это допустимо, но таблица получится постоянной.
