Калькулятор таблицы полиномов Лагерра

Введите расчет

n (порядок)

Начальное значение x

Приращение (шаг)

Число итераций (строк)

Результатов

Laguerre Polynomial L₃(x)

5,666667

value at the first x; 2,333333 at the last x · 51 rows

x	L3(x)
-1	5,666667
-0,9	5,0365
-0,8	4,445333
-0,7	3,892167
-0,6	3,376
-0,5	2,895833
-0,4	2,450667
-0,3	2,0395
-0,2	1,661333
-0,1	1,315167
0	1
0,1	0,714833
0,2	0,458667
0,3	0,2305
0,4	0,029333
0,5	-0,145833
0,6	-0,296
0,7	-0,422167
0,8	-0,525333
0,9	-0,6065
1	-0,666667
1,1	-0,706833
1,2	-0,728
1,3	-0,731167
1,4	-0,717333
1,5	-0,6875
1,6	-0,642667
1,7	-0,583833
1,8	-0,512
1,9	-0,428167
2	-0,333333
2,1	-0,2285
2,2	-0,114667
2,3	0,007167
2,4	0,136
2,5	0,270833
2,6	0,410667
2,7	0,5545
2,8	0,701333
2,9	0,850167
3	1
3,1	1,149833
3,2	1,298667
3,3	1,4455
3,4	1,589333
3,5	1,729167
3,6	1,864
3,7	1,992833
3,8	2,114667
3,9	2,2285
4	2,333333

Что такое калькулятор таблицы полиномов Лагерра?

Этот инструмент строит таблицу и график полинома Лагерра \(L_n(x)\) для последовательности значений x. Полиномы Лагерра — это ортогональные многочлены, являющиеся решениями дифференциального уравнения \(x\cdot y'' + (1 - x)\cdot y' + n\cdot y = 0\). Они встречаются повсюду в квантовой механике (радиальная часть волновой функции атома водорода), в численном интегрировании (квадратуры Гаусса — Лагерра) и в обработке сигналов. Калькулятор использует стандартную нормировку с условием \(L_n(0) = 1\).

Кривые первых нескольких многочленов Лагерра \(L_n(x)\) на интервале x.

Как пользоваться

Введите четыре числа: порядок n (целое неотрицательное число), начальное значение x, шаг (приращение) между соседними значениями x и число строк. Калькулятор формирует ряд \(x = \text{startX},\ \text{startX} + \text{stepX},\ \text{startX} + 2\cdot\text{stepX},\ \ldots\) и вычисляет \(L_n(x)\) в каждой точке, выдавая таблицу из двух столбцов и линейный график.

Разбор формулы

Вместо раскрытия многочлена калькулятор применяет численно устойчивую трёхчленную рекуррентную формулу: \(L_0(x) = 1\), \(L_1(x) = 1 - x\), и при \(k \ge 1\) — $$L_{k+1}(x) = \frac{(2k + 1 - x)\cdot L_k(x) - k\cdot L_{k-1}(x)}{k + 1}.$$ Такой подход требует лишь \(O(n)\) операций на каждую точку. Первые несколько полиномов выглядят так: \(L_2(x) = 1 - 2x + x^2/2\) и \(L_3(x) = 1 - 3x + 1.5x^2 - x^3/6\).

Рекуррентное соотношение строит \(L_{k+1}(x)\) из двух предыдущих многочленов.

Разбор примера

При \(n = 3\) и \(x = -1\): \(L_3(-1) = 1 + 3 + 1.5 + 0.16667 = 5.66667\). Проверим по рекуррентной формуле: \(L_0 = 1\), \(L_1 = 2\), \(L_2 = 3.5\), $$L_3 = \frac{6\cdot 3.5 - 2\cdot 2}{3} = \frac{17}{3} = 5.66667.$$ При \(x = 0\) получаем \(L_3(0) = 1\); при \(x = 1\) — \(L_3(1) = -0.66667\).

Частые вопросы

Какая нормировка используется? Стандартная форма с условием \(L_n(0) = 1\), а не ненормированный вариант \(n!\cdot L_n(x)\), который встречается в некоторых источниках.

Что будет при n = 0? \(L_0(x) = 1\) всюду — это горизонтальная прямая. При \(n = 1\) получается прямая \(1 - x\).

Насколько большим может быть n? Рекуррентная формула устойчива для умеренных значений n. При очень больших n или больших \(|x|\) значения растут стремительно, и в какой-то момент может произойти переполнение чисел с плавающей точкой.