拉蓋爾多項式數值表計算器

輸入計算

n（階數）

x 的起始值

增量（步長）

計算次數（列數）

結果

Laguerre Polynomial L₃(x)

5.666667

value at the first x; 2.333333 at the last x · 51 rows

x	L3(x)
-1	5.666667
-0.9	5.0365
-0.8	4.445333
-0.7	3.892167
-0.6	3.376
-0.5	2.895833
-0.4	2.450667
-0.3	2.0395
-0.2	1.661333
-0.1	1.315167
0	1
0.1	0.714833
0.2	0.458667
0.3	0.2305
0.4	0.029333
0.5	-0.145833
0.6	-0.296
0.7	-0.422167
0.8	-0.525333
0.9	-0.6065
1	-0.666667
1.1	-0.706833
1.2	-0.728
1.3	-0.731167
1.4	-0.717333
1.5	-0.6875
1.6	-0.642667
1.7	-0.583833
1.8	-0.512
1.9	-0.428167
2	-0.333333
2.1	-0.2285
2.2	-0.114667
2.3	0.007167
2.4	0.136
2.5	0.270833
2.6	0.410667
2.7	0.5545
2.8	0.701333
2.9	0.850167
3	1
3.1	1.149833
3.2	1.298667
3.3	1.4455
3.4	1.589333
3.5	1.729167
3.6	1.864
3.7	1.992833
3.8	2.114667
3.9	2.2285
4	2.333333

什麼是拉蓋爾多項式數值表計算器？

這個工具可在一連串 x 值上製表並繪製拉蓋爾多項式 L_n(x)。拉蓋爾多項式是微分方程式 x·y'' + (1 - x)·y' + n·y = 0 的正交多項式解，廣泛出現在量子力學（氫原子波函數的徑向部分）、數值積分（高斯–拉蓋爾求積法）以及訊號處理等領域。本計算器採用標準歸一化，亦即 L_n(0) = 1。

前幾個拉蓋爾多項式 L_n(x) 在某區間上的曲線。

使用方法

請輸入四個數值：階數 n（非負整數）、x 的起始值、相鄰 x 值之間的增量（步長），以及列數。計算器會依序產生 x = 起始值、起始值 + 步長、起始值 + 2·步長……並在每個點上計算 L_n(x)，回傳一張兩欄的數值表與一張折線圖。

公式說明

計算器並非直接展開多項式，而是採用數值上更穩定的三項遞迴關係：L₀(x) = 1、L₁(x) = 1 - x，且當 k ≥ 1 時，L_k+1(x) = ((2k + 1 - x)·L_k(x) - k·L_k-1(x)) / (k + 1)。每個點的計算量僅為 O(n)。前幾個多項式為 L₂(x) = 1 - 2x + x²/2、L₃(x) = 1 - 3x + 1.5x² - x³/6。

遞迴公式由前兩個多項式建構出 L_{k+1}(x)。

範例演算

當 n = 3、x = -1 時：L₃(-1) = 1 + 3 + 1.5 + 0.16667 = 5.66667。以遞迴關係驗證：L₀ = 1、L₁ = 2、L₂ = 3.5、L₃ = (6·3.5 - 2·2)/3 = 17/3 = 5.66667。在 x = 0 時，L₃(0) = 1；在 x = 1 時，L₃(1) = -0.66667。

常見問題

採用哪一種歸一化？本工具使用標準形式，亦即 L_n(0) = 1，而非部分文獻中未歸一化的 n!·L_n(x)。

當 n = 0 時會如何？此時 L₀(x) = 1 處處成立，呈一條水平直線。當 n = 1 時則得到直線 1 - x。

n 可以取多大？對中等大小的 n，遞迴關係都很穩定。但若 n 極大或 |x| 很大，數值會迅速增長，最終可能造成浮點數溢位。