Calculadora de tabla de polinomios de Laguerre

Ingresar cálculo

n (orden)

Valor inicial de x

Incremento (paso)

Número de iteraciones (filas)

Resultados

Laguerre Polynomial L₃(x)

5,666667

value at the first x; 2,333333 at the last x · 51 rows

x	L3(x)
-1	5,666667
-0,9	5,0365
-0,8	4,445333
-0,7	3,892167
-0,6	3,376
-0,5	2,895833
-0,4	2,450667
-0,3	2,0395
-0,2	1,661333
-0,1	1,315167
0	1
0,1	0,714833
0,2	0,458667
0,3	0,2305
0,4	0,029333
0,5	-0,145833
0,6	-0,296
0,7	-0,422167
0,8	-0,525333
0,9	-0,6065
1	-0,666667
1,1	-0,706833
1,2	-0,728
1,3	-0,731167
1,4	-0,717333
1,5	-0,6875
1,6	-0,642667
1,7	-0,583833
1,8	-0,512
1,9	-0,428167
2	-0,333333
2,1	-0,2285
2,2	-0,114667
2,3	0,007167
2,4	0,136
2,5	0,270833
2,6	0,410667
2,7	0,5545
2,8	0,701333
2,9	0,850167
3	1
3,1	1,149833
3,2	1,298667
3,3	1,4455
3,4	1,589333
3,5	1,729167
3,6	1,864
3,7	1,992833
3,8	2,114667
3,9	2,2285
4	2,333333

¿Qué es la calculadora de tabla de polinomios de Laguerre?

Esta herramienta tabula y representa gráficamente el polinomio de Laguerre \(L_n(x)\) sobre una secuencia de valores de x. Los polinomios de Laguerre son las soluciones de tipo polinomio ortogonal de la ecuación diferencial \(x\cdot y'' + (1 - x)\cdot y' + n\cdot y = 0\), y aparecen continuamente en la mecánica cuántica (la parte radial del átomo de hidrógeno), en la integración numérica (la cuadratura de Gauss-Laguerre) y en el procesamiento de señales. Esta calculadora emplea la normalización estándar, con \(L_n(0) = 1\).

Curvas de los primeros polinomios de Laguerre L_n(x) en un intervalo de x.

Cómo usarla

Introduce cuatro números: el orden n (un entero no negativo), el valor inicial de x, el incremento (paso) entre valores sucesivos de x y el número de filas. La calculadora genera \(x = \text{inicioX},\ \text{inicioX} + \text{pasoX},\ \text{inicioX} + 2\cdot\text{pasoX},\ \ldots\) y evalúa \(L_n(x)\) en cada uno, devolviendo una tabla de dos columnas y una gráfica de líneas.

La fórmula explicada

En lugar de desarrollar el polinomio, la calculadora utiliza la recurrencia de tres términos, numéricamente estable: \(L_0(x) = 1\), \(L_1(x) = 1 - x\) y, para \(k \ge 1\),

$$L_{k+1}(x) = \frac{(2k + 1 - x)\cdot L_k(x) - k\cdot L_{k-1}(x)}{k + 1}.$$

Esto solo requiere un coste \(O(n)\) por punto. Los primeros polinomios son \(L_2(x) = 1 - 2x + \frac{x^2}{2}\) y \(L_3(x) = 1 - 3x + 1.5x^2 - \frac{x^3}{6}\).

La recurrencia construye L_{k+1}(x) a partir de los dos polinomios anteriores.

Ejemplo resuelto

Para \(n = 3\) y \(x = -1\):

$$L_3(-1) = 1 + 3 + 1.5 + 0.16667 = 5.66667.$$

Comprobándolo con la recurrencia: \(L_0 = 1\), \(L_1 = 2\), \(L_2 = 3.5\),

$$L_3 = \frac{6\cdot 3.5 - 2\cdot 2}{3} = \frac{17}{3} = 5.66667.$$

En \(x = 0\), \(L_3(0) = 1\); en \(x = 1\), \(L_3(1) = -0.66667\).

Preguntas frecuentes

¿Qué normalización se utiliza? La forma estándar con \(L_n(0) = 1\), no la versión sin normalizar \(n!\cdot L_n(x)\) que aparece en algunas referencias.

¿Qué ocurre si n = 0? \(L_0(x) = 1\) en todas partes, una línea horizontal plana. Para \(n = 1\) obtienes la recta \(1 - x\).

¿Hasta qué valor puede llegar n? La recurrencia es estable para valores moderados de \(n\). Para \(n\) muy grande o \(|x|\) muy grande los valores crecen con rapidez y, con el tiempo, puede producirse un desbordamiento en coma flotante.