¿Qué es la calculadora de tabla de polinomios asociados de Legendre?
Esta herramienta calcula una tabla de valores de la función asociada de Legendre \(P_n^m(x)\) (grado \(n\), orden \(m\)) sobre el rango de \(x\) que elijas y traza la curva correspondiente. Se trata de matemática pura: funciona exactamente igual en cualquier país, sin unidades ni supuestos propios de una jurisdicción concreta. Los polinomios asociados de Legendre aparecen por todas partes en física y matemática aplicada: en los armónicos esféricos, en la solución de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas, en los desarrollos multipolares y en la mecánica cuántica del momento angular.
Cómo usarla
Introduce el grado entero \(n\) (0, 1, 2, ...) y el orden entero \(m\) con \(-n \le m \le n\). Elige el valor inicial de \(x\) (entre -1 y 1), el incremento del paso y el número de filas. Los valores por defecto \(n = 2\), \(m = 1\), inicio \(= -1\), paso \(= 0{,}02\) y 101 filas recorren \(x\) desde -1 hasta +1, ambos incluidos. Selecciona el Tipo A (convenio de Wolfram) o el Tipo B (convenio de Maple); para \(x\) real en \((-1, 1)\) coinciden en magnitud y solo se diferencian por un signo o fase del prefactor.
La fórmula explicada
Para \(n\) entero y \(0 \le m \le n\) empleamos $$P_n^m(x) = (-1)^m\,(1-x^2)^{m/2}\,\frac{d^m}{dx^m}P_n(x),$$ evaluada con la recurrencia numéricamente estable \(P_m^m = (-1)^m(2m-1)!!(1-x^2)^{m/2}\), \(P_{m+1}^m = x(2m+1)P_m^m\), y a continuación \((l-m)P_l^m = (2l-1)x\,P_{l-1}^m - (l+m-1)P_{l-2}^m\). Para \(m\) negativo, \(P_n^{-m} = (-1)^m\dfrac{(n-m)!}{(n+m)!}P_n^m\). Esta recurrencia cerrada evita la explosión de la función Gamma que presenta la forma literal \({}_2F_1\) cuando \(m\) es un entero positivo.
Ejemplo resuelto
Con \(n = 2\), \(m = 1\) la función es $$P_2^1(x) = -3x\sqrt{1-x^2}.$$ En \(x = 0\) el valor es 0; en \(x = 0{,}5\) vale \(-3(0{,}5)(0{,}866025) = -1{,}299038\); en \(x = -0{,}5\) vale \(+1{,}299038\). La curva arranca en 0 (\(x = -1\)), sube hasta cerca de \(+1{,}1547\) en torno a \(x = -0{,}577\), cruza el cero en \(x = 0\), baja hasta unos \(-1{,}1547\) cerca de \(x = +0{,}577\) y vuelve a 0 en \(x = +1\).
Funciones asociadas de Legendre en forma cerrada P_n^m(x)
Las funciones asociadas de Legendre \(P_n^m(x)\) para grado entero \(n\) y orden \(0\le m\le n\) se derivan de \(P_n^m(x)=(-1)^m(1-x^2)^{m/2}\dfrac{d^m}{dx^m}P_n(x)\). El factor \((-1)^m\) es la fase de Condon–Shortley incluida en la convención Tipo A (coincidiendo con Wolfram); la convención Tipo B (Maple) la omite, por lo que sus entradas de \(m\) impar difieren solo en signo. La tabla siguiente enumera las formas explícitas bajo el Tipo A.
| \(n\) | \(m\) | \(P_n^m(x)\) (Tipo A, con signo) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | \(1\) |
| 1 | 0 | \(x\) |
| 1 | 1 | \(-\sqrt{1-x^2}\) |
| 2 | 0 | \(\tfrac{1}{2}(3x^2-1)\) |
| 2 | 1 | \(-3x\sqrt{1-x^2}\) |
| 2 | 2 | \(3(1-x^2)\) |
| 3 | 0 | \(\tfrac{1}{2}(5x^3-3x)\) |
| 3 | 1 | \(-\tfrac{3}{2}(5x^2-1)\sqrt{1-x^2}\) |
| 3 | 2 | \(15x(1-x^2)\) |
| 3 | 3 | \(-15(1-x^2)^{3/2}\) |
Como verificación realizada, en \(x=0.5\) la entrada \(P_2^1\) da \(-3(0.5)\sqrt{1-0.25}=-1.5\sqrt{0.75}=\) -1.299038. La columna \(m=0\) reproduce los polinomios de Legendre ordinarios \(P_n(x)\), p. ej. \(P_3^0(x)=\tfrac12(5x^3-3x)\), que se pueden tabular con la calculadora de tabla de polinomios de Legendre.
Términos y variables clave
- Grado \(n\)
-
Un entero no negativo (
degreeN) que establece el orden del polinomio de Legendre subyacente \(P_n(x)\), que es un polinomio de grado \(n\). - Orden \(m\)
-
Un entero (
orderM) que controla cuántas derivadas se toman. Para resultados de valores reales en \((-1,1)\) normalmente se usa \(0\le m\le n\); cuando \(m>n\) la función es idénticamente cero porque la \(m\)-ésima derivada de un polinomio de grado \(n\) se anula. - Argumento \(x\)
-
El punto de evaluación (
initialXmás \(i\cdot\)stepX). Las funciones son reales para \(-1\le x\le 1\); en física \(x=\cos\theta\). - Tipo A (Wolfram / Condon–Shortley)
-
Incluye el factor de fase \((-1)^m\). Esta es la convención utilizada por
LegendrePde Wolfram y los textos estándar de mecánica cuántica. - Tipo B (Maple)
- Omite la fase \((-1)^m\), por lo que \(P_n^m\) (Tipo B) \(=(-1)^m\,P_n^m\) (Tipo A). Las magnitudes son idénticas; solo el signo de las entradas de \(m\) impar difiere.
- Doble factorial \((2m-1)!!\)
- El producto de enteros impares \((2m-1)(2m-3)\cdots 3\cdot 1\), con \((-1)!!=1\). Aparece en el coeficiente principal \(P_m^m(x)=(-1)^m(2m-1)!!\,(1-x^2)^{m/2}\); p. ej. \(P_3^3\) usa \(5!!=15\). Véase la calculadora de doble factorial para estos valores.
- Relación de orden negativo
- Para \(m>0\), \(P_n^{-m}(x)=(-1)^m\dfrac{(n-m)!}{(n+m)!}\,P_n^{m}(x)\), conectando órdenes positivos y negativos a través de factoriales.
Interpretación de la tabla y gráfica
Varias propiedades estructurales le permiten verificar la cordura de los valores tabulados y la curva trazada:
- Paridad. \(P_n^m(-x)=(-1)^{n+m}P_n^m(x)\). Cuando \(n+m\) es par, la gráfica es simétrica respecto a \(x=0\); cuando \(n+m\) es impar es antisimétrica (y por lo tanto pasa a través del origen).
- Ceros en el interior. En el intervalo abierto \((-1,1)\), \(P_n^m(x)\) tiene exactamente \(n-m\) ceros simples. Por ejemplo \(P_3^1\) tiene dos ceros interiores, mientras que \(P_n^n\) no tiene ninguno.
- Comportamiento en los extremos. Debido al factor \((1-x^2)^{m/2}\), cada función con \(m>0\) se anula en \(x=\pm 1\). Para \(m=0\) los valores son \(P_n(1)=1\) y \(P_n(-1)=(-1)^n\).
- Magnitud cerca de los bordes. Para \(m\) más alto, el factor \((1-x^2)^{m/2}\) suprime la curva bruscamente cuando \(x\to\pm1\), por lo que las mayores excursiones ocurren hacia el medio del rango.
Estas funciones son la parte dependiente de \(\theta\) de los armónicos esféricos \(Y_n^m(\theta,\phi)\): escribiendo \(x=\cos\theta\), se tiene \(Y_n^m\propto P_n^m(\cos\theta)\,e^{im\phi}\). Los ceros interiores se convierten en los círculos nodales de latitud, y la anulación de los extremos con \(m>0\) corresponde a los armónicos que tienden a cero en los polos. Los mismos valores de \(P_n^m\) se alimentan directamente en una evaluación de armónicos esféricos en un \(\theta\) y \(\phi\) elegidos.
Preguntas frecuentes
¿Por qué \(n\) y \(m\) deben ser enteros? La forma polinómica que termina exige que \(n\) sea un entero no negativo; la recurrencia y los factores \((n\pm m)!\) requieren que \(m\) sea entero con \(-n \le m \le n\).
¿Qué valor de muestra se muestra? El recuadro destacado indica \(x\) y \(P_n^m(x)\) en la fila central de la tabla (el índice mediano), una comprobación rápida de la curva.
¿Qué se obtiene con \(m = 0\)? \(P_n^0(x)\) es el polinomio de Legendre ordinario \(P_n(x)\).
