¿Qué es la calculadora de tabla de la función de Bessel Y?
Esta herramienta tabula la función de Bessel de segunda especie, conocida también como función de Weber o de Neumann y representada como \(Y_{\nu}(x)\). Es la segunda solución linealmente independiente de la ecuación diferencial de Bessel. Para un orden real fijo \(\nu\), la calculadora evalúa \(Y_{\nu}(x)\) en una sucesión de valores de \(x\) definidos por un valor inicial, un incremento y un número de puntos, generando así una tabla numérica completa.
Cómo usarla
Introduce el orden \(\nu\) (que puede ser no entero o negativo), el valor inicial de \(x\), el incremento (paso) entre puntos y el número de iteraciones (filas). La calculadora construye \(x_i = \text{startX} + i \cdot \text{stepX}\) para \(i = 0\) hasta \(\text{pointCount} - 1\) y muestra \(Y_{\nu}(x)\) para cada uno. Ten en cuenta que \(Y_{\nu}(x)\) diverge hacia menos infinito en \(x = 0\) y solo toma valores reales para \(x > 0\), de modo que cualquier fila con \(x \le 0\) se marca como indefinida.
La fórmula
Para orden no entero:
$$Y_{\nu}(x) = \frac{J_{\nu}(x)\cos(\nu\pi) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}$$Para orden entero \(n\), el límite da lugar a una forma cerrada con un término logarítmico que incluye \(J_n(x)\cdot\ln(x/2)\), una corrección finita en forma de serie de potencias y una serie con la función digamma. La función de primera especie \(J_{\nu}(x)\) se calcula sumando su serie de potencias, y la función Gamma se evalúa mediante una aproximación de Lanczos.
Ejemplo resuelto
Con \(\nu = 0\), \(\text{startX} = 0\), \(\text{stepX} = 0{,}2\) y \(\text{pointCount} = 51\), las filas van de \(x = 0{,}0\) a \(10{,}0\). \(Y_0(0)\) es indefinida (\(-\infty\)), \(Y_0(0{,}2) \approx -1{,}0811\), \(Y_0(1{,}0) \approx 0{,}0883\), \(Y_0(2{,}0) \approx 0{,}5104\) y \(Y_0(10{,}0) \approx 0{,}0557\). El resultado destacado «primer valor finito» indica \(-1{,}0811\).
Definiciones y Glosario
- Orden \(\nu\)
-
El parámetro (el campo
order) que indexa la familia de funciones de Bessel. Puede ser cualquier número real. Los órdenes enteros (0, 1, 2, …) son los más comunes en problemas físicos con simetría cilíndrica; los órdenes semienteros dan funciones de Bessel esféricas. - Función de Bessel de segunda especie \(Y_\nu(x)\)
- También llamada función de Weber o Neumann (a veces escrita como \(N_\nu\)). Es una solución de la ecuación de Bessel que es no acotada (singular) en el origen. Definida para \(\nu\) no entero por \(Y_\nu(x) = \dfrac{J_\nu(x)\cos(\nu\pi) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}\), siendo el caso entero obtenido como un límite.
- \(J_\nu\) versus \(Y_\nu\)
- \(J_\nu(x)\) (primera especie) es finita en \(x=0\); \(Y_\nu(x)\) (segunda especie) diverge a \(-\infty\) cuando \(x\to 0^+\). Juntas forman un par completo de soluciones independientes de la ecuación de Bessel.
- Ecuación diferencial de Bessel
- La ODE lineal \(x^2 y'' + x y' + (x^2 - \nu^2) y = 0\). Su solución general es \(y = c_1 J_\nu(x) + c_2 Y_\nu(x)\).
- Función Gamma \(\Gamma(z)\)
- La extensión continua del factorial, \(\Gamma(n+1) = n!\), que aparece en los coeficientes de la serie de \(J_\nu\) e \(Y_\nu\).
- Función digamma \(\psi(z)\)
- La derivada logarítmica \(\psi(z) = \Gamma'(z)/\Gamma(z)\). Aparece explícitamente en la serie para \(Y_n(x)\) de orden entero, que contiene un término logarítmico \(\tfrac{2}{\pi}\ln(x/2)J_n(x)\) más coeficientes ponderados por digamma.
- Aproximación de Lanczos
- Un método numérico altamente preciso para evaluar la función Gamma \(\Gamma(z)\) para argumento complejo o real, comúnmente utilizado dentro de rutinas de funciones de Bessel para calcular coeficientes de serie.
- Solución linealmente independiente
- Una segunda solución que no puede expresarse como un múltiplo constante de la primera. Debido a que \(J_\nu\) sola no puede representar soluciones singulares en el origen, \(Y_\nu\) proporciona la compañera independiente necesaria para la solución general.
Preguntas frecuentes
¿Por qué la primera fila está indefinida? \(Y_{\nu}(x)\) presenta una singularidad en \(x = 0\) y diverge hacia \(-\infty\), por lo que ahí no tiene ningún valor finito.
¿Puede el orden ser negativo? Sí. Para órdenes enteros negativos se aplica la simetría \(Y_{-n}(x) = (-1)^n Y_n(x)\); para órdenes no enteros negativos se utiliza directamente la fórmula general.
¿Qué precisión tiene? Las series se suman hasta que los términos quedan por debajo de la tolerancia de la máquina, lo que proporciona en torno a 6-7 cifras significativas para valores moderados de \(x\).
