Calculadora de Tabla y Gráfica de la Función Gamma

Ingresar cálculo

Valor inicial de a

Paso / incremento

Número de filas

Resultados

Gamma en el primer argumento

1,772454

over 5 rows (5 finite)

Filas generadas	5
Valores finitos	5
Valor finito mínimo	0,886227
Valor finito máximo	1,772454

a	Γ(a)
0.500000	1.772454
1.000000	1.000000
1.500000	0.886227
2.000000	1.000000
2.500000	1.329340

¿Qué es la calculadora de la función Gamma?

La función Gamma, que se escribe \(\Gamma(a)\), es una de las funciones especiales más relevantes de las matemáticas. Es la continuación analítica del factorial: para cualquier entero no negativo \(n\) se cumple que \(\Gamma(n+1) = n!\). A diferencia del factorial, Gamma está definida para casi cualquier número real (y complejo), incluidos fracciones y negativos. Esta calculadora construye una tabla de \(\Gamma(a)\) a partir de una secuencia de argumentos igualmente espaciados y dibuja la curva resultante. Se trata de matemática universal, válida en cualquier lugar y sin reglas propias de ningún país.

Cómo utilizarla

Introduce tres valores: el valor inicial de a (el primer argumento), el paso (el incremento constante que se suma en cada fila) y el número de filas. La fila \(k\) utiliza el argumento \(a_k = a_{\text{inicial}} + k \cdot \text{paso}\). La herramienta evalúa Gamma en cada argumento, muestra los pares en una tabla e indica los valores finitos mínimo y máximo. Los polos en \(a = 0, -1, -2, \dots\) se señalan como indefinidos.

La fórmula explicada

La integral que la define es $$\Gamma(a) = \int_{0}^{\infty} t^{\,a-1}\, e^{-t}\, dt$$ para \(\operatorname{Re}(a) > 0\). Para el cálculo numérico empleamos la aproximación de Lanczos, que ofrece una precisión cercana a los 15 dígitos. Cuando \(a \le 0{,}5\) se aplica la fórmula de reflexión $$\Gamma(a) = \frac{\pi}{\sin(\pi \cdot a) \cdot \Gamma(1-a)},$$ que gestiona los negativos y los argumentos pequeños y evita la divergencia. Algunos valores especiales clave: \(\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi} = 1{,}77245\); \(\Gamma(1) = 1\); \(\Gamma(n+1) = n!\).

La curva de la función Gamma, que muestra su rápido crecimiento y sus asíntotas verticales (polos) en cero y en los enteros negativos.

Ejemplo resuelto

Con \(a_{\text{inicial}} = 0{,}5\), paso \(= 0{,}5\) y número de filas \(= 5\), los argumentos son \(0{,}5\); \(1{,}0\); \(1{,}5\); \(2{,}0\) y \(2{,}5\). Los resultados son $$\Gamma(0{,}5) = 1{,}77245\ (= \sqrt{\pi}), \quad \Gamma(1{,}0) = 1{,}0, \quad \Gamma(1{,}5) = 0{,}88623, \quad \Gamma(2{,}0) = 1{,}0, \quad \Gamma(2{,}5) = 1{,}32934.$$ Para los valores positivos de \(a\), la curva desciende hasta su mínimo (alrededor de \(0{,}8856\), cerca de \(a = 1{,}4616\)) y después vuelve a crecer.

Significado geométrico de la definición integral: \(\Gamma(a)\) es el área sombreada bajo \(t^{a-1} \cdot e^{-t}\).

Preguntas frecuentes

¿Por qué \(\Gamma(0)\) es indefinida? Los enteros no positivos \((0, -1, -2, \dots)\) son polos simples donde Gamma diverge hacia más o menos infinito, de modo que ahí no existe ningún valor finito.

¿Puede a ser negativo? Sí. Los negativos no enteros son válidos; los valores alternan de signo y crecen mucho en magnitud entre enteros negativos consecutivos; por ejemplo, \(\Gamma(-0{,}5) = -3{,}5449\).

¿Qué precisión tiene el resultado? La aproximación de Lanczos proporciona unos 15 dígitos significativos, más que suficientes para prácticamente cualquier uso práctico o didáctico.