Qué hace esta calculadora
Esta herramienta tabula y representa gráficamente la función de Bessel modificada de segunda especie, denotada \(K_{\nu}(x)\). A partir de un orden real fijo \(\nu\) y un barrido de valores de \(x\), devuelve una tabla de dos columnas con \(x\) frente a \(K_{\nu}(x)\) junto con una gráfica de líneas que muestra cómo decae la función. Es matemática pura y se aplica de forma universal, sin ninguna suposición regional.
Fundamentos
Las funciones de Bessel modificadas son las dos soluciones independientes de la ecuación de Bessel modificada $$x^{2}y'' + xy' - (x^{2} + \nu^{2})y = 0.$$ La de primera especie \(I_{\nu}(x)\) crece; la de segunda especie \(K_{\nu}(x)\) decae exponencialmente. Conviene recordar que \(K_{\nu}(x) = K_{-\nu}(x)\), por lo que el signo del orden no influye: la calculadora utiliza internamente \(|\nu|\).
Cómo usarla
Introduce el Orden \(\nu\) (cualquier número real), el Valor inicial de x, el Incremento que se suma a \(x\) en cada fila y el Número de repeticiones (la cantidad de puntos de muestra de \(x\), es decir, las filas de la tabla). La fila \(i\) emplea \(x = x_{\text{Inicial}} + i\cdot\text{paso}\). Como \(K_{\nu}(x)\) solo está definida para \(x > 0\) y diverge a \(+\infty\) cuando \(x\rightarrow 0^{+}\), una fila en \(x = 0\) (o con \(x\) negativa) se muestra como Infinito.
La fórmula explicada
La calculadora evalúa la representación integral $$K_{\nu}(x) = \int_{0}^{\infty} e^{-x \cosh t}\,\cosh\!\left(\nu\, t\right)\,dt$$ mediante la cuadratura compuesta de Simpson. El límite superior se trunca cuando el integrando se vuelve despreciable (cuando \(x\cdot\cosh t\) supera aproximadamente 45). Esta forma no presenta singularidad en los órdenes enteros, de modo que \(K_{0}\), \(K_{1}\), \(\ldots\) se calculan directamente sin el problema 0/0 de la expresión cerrada que involucra a \(I_{\nu}\).
Ejemplo resuelto
Con \(\nu = 0\), \(x_{\text{Inicial}} = 0.1\), paso \(= 0.1\) e iteraciones \(= 3\), la tabla resulta: \(x = 0.1 \rightarrow 2.427069\), \(x = 0.2 \rightarrow 1.752704\), \(x = 0.3 \rightarrow 1.372460\). Estos valores coinciden con los tabulados estándar de \(K_{0}\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué el primer valor a veces es \(\infty\)? Porque \(K_{\nu}(0)\) diverge; elige un valor inicial positivo y pequeño, como 0.1.
¿Funciona con un orden negativo? Sí. Como \(K_{\nu}(x) = K_{-\nu}(x)\), el resultado para \(-\nu\) es igual al de \(\nu\).
¿Por qué los valores con x grande se vuelven 0? Porque \(K_{\nu}(x)\) decae como \(\sqrt{\pi/2x}\cdot e^{-x}\), de modo que para \(x\) grande se produce un desbordamiento por defecto a 0, lo cual es correcto.
