Qué hace esta calculadora
Esta herramienta evalúa las seis funciones hiperbólicas de un número real y adimensional x: los análogos del seno, el coseno y la tangente —sinh, cosh y tanh—, junto con sus recíprocas csch (cosecante), sech (secante) y coth (cotangente). El argumento x es un número puro, no un ángulo en grados, por lo que no se aplica ninguna conversión de grados a radianes. Las funciones hiperbólicas aparecen por todas partes en la física y la ingeniería: la forma de un cable colgante (la catenaria), la relatividad especial, el procesamiento de señales, la transferencia de calor y la solución de numerosas ecuaciones diferenciales.
Cómo usarla
Introduce cualquier valor real para \(x\) y elige con cuántas cifras significativas quieres mostrar el resultado. La calculadora devuelve las seis funciones de una sola vez. Como \(\cosh(x)\) siempre vale al menos 1, \(\operatorname{sech}(x)\) está siempre definida. En cambio, \(\sinh(0) = 0\) y \(\tanh(0) = 0\), de modo que \(\operatorname{csch}(0)\) y \(\coth(0)\) implican una división entre cero y se muestran como «indefinido».
La fórmula explicada
Todo se construye a partir de la función exponencial. Llamando \(ep = e^x\) y \(en = e^{-x}\):
$$\sinh(x) = \frac{ep - en}{2}, \quad \cosh(x) = \frac{ep + en}{2}, \quad \tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$$\(\sinh(x) = \dfrac{ep - en}{2}\) representa la parte impar de la exponencial, \(\cosh(x) = \dfrac{ep + en}{2}\) representa la parte par y \(\tanh(x) = \dfrac{\sinh(x)}{\cosh(x)}\). Las recíprocas se deducen directamente:
$$\operatorname{csch}(x) = \frac{1}{\sinh(x)}, \quad \operatorname{sech}(x) = \frac{1}{\cosh(x)}, \quad \coth(x) = \frac{1}{\tanh(x)}$$Una identidad muy útil que siempre se cumple es
$$\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1,$$el equivalente hiperbólico de la identidad pitagórica.
Ejemplo resuelto (x = 1)
Con \(e = 2{,}718281828\ldots\) y \(e^{-1} = 0{,}367879441\ldots\):
$$\sinh(1) = \frac{2{,}718281828 - 0{,}367879441}{2} = 1{,}175201194$$$$\cosh(1) = \frac{2{,}718281828 + 0{,}367879441}{2} = 1{,}543080635$$$$\tanh(1) = \frac{1{,}175201194}{1{,}543080635} = 0{,}761594156$$Las recíprocas dan \(\operatorname{csch}(1) = 0{,}850918128\), \(\operatorname{sech}(1) = 0{,}648054274\) y \(\coth(1) = 1{,}313035285\).
Preguntas frecuentes
¿x es un ángulo en grados? No. Las funciones hiperbólicas toman un número real corriente; no hay modo de grados ni conversión alguna.
¿Por qué csch(0) y coth(0) están indefinidas? Ambas dividen entre \(\sinh(0) = 0\), que no está definido. La calculadora lo señala en lugar de devolver infinito.
¿Qué funciones son pares y cuáles impares? sinh, tanh, csch y coth son impares (\(f(-x) = -f(x)\)); cosh y sech son pares (\(f(-x) = f(x)\)).
