Qué hace esta calculadora
Esta herramienta evalúa de una sola vez las seis funciones hiperbólicas inversas de un mismo número real x: el seno hiperbólico inverso \(\sinh^{-1}(x)\), el coseno \(\cosh^{-1}(x)\), la tangente \(\tanh^{-1}(x)\), la cosecante \(\operatorname{csch}^{-1}(x)\), la secante \(\operatorname{sech}^{-1}(x)\) y la cotangente \(\coth^{-1}(x)\). Estas funciones son las inversas de las funciones hiperbólicas y aparecen continuamente en cálculo, en las tablas de integrales, en la relatividad especial (la rapidez), en las curvas catenarias y en la ingeniería.
Cómo usarla
Introduce cualquier número real en el campo Variable x y pulsa para calcular. El recuadro principal muestra el seno hiperbólico inverso, que siempre está definido, y la tabla recoge los seis resultados con alta precisión. Cuando x cae fuera del dominio real de una función, la calculadora indica «sin valor real» en lugar de devolver un número engañoso.
Las fórmulas
Cada función hiperbólica inversa se reduce a logaritmos naturales y raíces cuadradas en su rama real principal:
$$\sinh^{-1}(x) = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2+1}\right)$$ para todo x real. $$\cosh^{-1}(x) = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2-1}\right)$$ para \(x \geq 1\). $$\tanh^{-1}(x) = \tfrac12\cdot\ln\frac{1+x}{1-x}$$ para \(|x| < 1\). Las funciones recíprocas introducen \(1/x\) en las principales: \(\operatorname{csch}^{-1}(x) = \sinh^{-1}(1/x)\) para \(x \neq 0\); \(\operatorname{sech}^{-1}(x) = \cosh^{-1}(1/x)\) para \(0 < x \leq 1\); \(\coth^{-1}(x) = \tanh^{-1}(1/x)\) para \(|x| > 1\).
Ejemplo resuelto (x = 2)
$$\sinh^{-1}(2) = \ln(2 + \sqrt{5}) = \ln(4{,}2360679...) \approx 1{,}44363548$$ $$\cosh^{-1}(2) = \ln(2 + \sqrt{3}) \approx 1{,}31695790$$ $$\operatorname{csch}^{-1}(2) = \sinh^{-1}(0{,}5) = \ln(0{,}5 + \sqrt{1{,}25}) \approx 0{,}48121183$$ $$\coth^{-1}(2) = \tanh^{-1}(0{,}5) = \tfrac12\cdot\ln(3) \approx 0{,}54930614$$ Como \(|2| > 1\), \(\tanh^{-1}(2)\) no tiene valor real, y como \(2 > 1\), \(\operatorname{sech}^{-1}(2)\) tampoco lo tiene.
Preguntas frecuentes
¿Por qué algunos resultados dicen «sin valor real»? Cada función tiene un dominio real restringido (por ejemplo, \(\cosh^{-1}\) exige \(x \geq 1\)). Fuera de ese intervalo el valor verdadero es complejo; esta calculadora, que trabaja con números reales, simplemente lo señala.
¿Qué ocurre en x = 0? Las funciones recíprocas \(\operatorname{csch}^{-1}\) y \(\coth^{-1}\) necesitan calcular \(1/x\), así que en \(x = 0\) quedan indefinidas.
¿Coinciden con las identidades del logaritmo natural? Sí: la calculadora utiliza las formas logarítmicas exactas anteriores, matemáticamente idénticas a las funciones estándar asinh/acosh/atanh.
