Калькулятор обратных гиперболических функций

Введите расчет

Переменная x

Математическая формула

Show calculation steps (1)

1. Inverse hyperbolic tangent and reciprocals

   

   atanh for |x|<1, plus the reciprocal-based csch, sech and coth inverses.

Результатов

Inverse Hyperbolic Sine, sinh⁻¹(x)

1,44363547517881

главное действительное значение

sinh⁻¹(x)	1,44363547517881
cosh⁻¹(x)	1.3169578969248166
tanh⁻¹(x)	no real value
csch⁻¹(x)	0.48121182505960347
sech⁻¹(x)	no real value
coth⁻¹(x)	0.5493061443340549

Что делает этот калькулятор

Инструмент сразу вычисляет все шесть обратных гиперболических функций одного действительного числа x: ареасинус \(\sinh^{-1}(x)\), ареакосинус \(\cosh^{-1}(x)\), ареатангенс \(\tanh^{-1}(x)\), ареакосеканс \(\operatorname{csch}^{-1}(x)\), ареасеканс \(\operatorname{sech}^{-1}(x)\) и ареакотангенс \(\coth^{-1}(x)\). Это функции, обратные к гиперболическим, и они постоянно встречаются в математическом анализе, таблицах интегралов, специальной теории относительности (быстрота), уравнении цепной линии и инженерных расчётах.

Кривая arcsinh определена для всех действительных x и проходит через начало координат.

Как пользоваться

Введите любое действительное число в поле «Переменная x» и нажмите «Вычислить». В верхнем блоке отображается ареасинус — он определён при любом x, — а в таблице приведены все шесть результатов с высокой точностью. Если x выходит за пределы области определения конкретной функции, калькулятор честно покажет «нет действительного значения», а не выдаст вводящее в заблуждение число.

Формулы

На главной действительной ветви каждая обратная гиперболическая функция сводится к натуральным логарифмам и квадратным корням:

$$\sinh^{-1}(x) = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$$ для любого действительного x. $$\cosh^{-1}(x) = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)$$ при \(x \geq 1\). $$\tanh^{-1}(x) = \tfrac12\cdot\ln\frac{1+x}{1-x}$$ при \(|x| < 1\). Обратные функции к величинам, обратным по значению, опираются на \(1/x\), подставленное в основные: \(\operatorname{csch}^{-1}(x) = \sinh^{-1}(1/x)\) при \(x \neq 0\); \(\operatorname{sech}^{-1}(x) = \cosh^{-1}(1/x)\) при \(0 < x \leq 1\); \(\coth^{-1}(x) = \tanh^{-1}(1/x)\) при \(|x| > 1\).

У каждой обратной гиперболической функции своя допустимая область определения.

Разбор примера (x = 2)

$$\sinh^{-1}(2) = \ln(2 + \sqrt{5}) = \ln(4{,}2360679\ldots) \approx 1{,}44363548$$ $$\cosh^{-1}(2) = \ln(2 + \sqrt{3}) \approx 1{,}31695790$$ $$\operatorname{csch}^{-1}(2) = \sinh^{-1}(0{,}5) = \ln(0{,}5 + \sqrt{1{,}25}) \approx 0{,}48121183$$ $$\coth^{-1}(2) = \tanh^{-1}(0{,}5) = \tfrac12\cdot\ln(3) \approx 0{,}54930614$$ Поскольку \(|2| > 1\), у \(\tanh^{-1}(2)\) нет действительного значения, а так как \(2 > 1\), его нет и у \(\operatorname{sech}^{-1}(2)\).

Частые вопросы

Почему для некоторых функций выводится «нет действительного значения»? У каждой функции своя ограниченная область определения на множестве действительных чисел (например, для \(\cosh^{-1}\) нужно \(x \geq 1\)). За её пределами истинное значение становится комплексным, и этот калькулятор, работающий с действительными числами, просто отмечает такой случай.

Что происходит при x = 0? Функциям \(\operatorname{csch}^{-1}\) и \(\coth^{-1}\) требуется \(1/x\), поэтому при \(x = 0\) они не определены.

Совпадают ли результаты с логарифмическими тождествами? Да — калькулятор использует приведённые выше точные логарифмические формы, которые математически тождественны стандартным функциям asinh/acosh/atanh.