Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, tek bir gerçel x sayısının altı ters hiperbolik fonksiyonunu aynı anda hesaplar: ters hiperbolik sinüs \(\sinh^{-1}(x)\), kosinüs \(\cosh^{-1}(x)\), tanjant \(\tanh^{-1}(x)\), kosekant \(\operatorname{csch}^{-1}(x)\), sekant \(\operatorname{sech}^{-1}(x)\) ve kotanjant \(\coth^{-1}(x)\). Bu fonksiyonlar hiperbolik fonksiyonların tersidir ve analiz (kalkülüs), integral tablolarında, özel görelilikte (hız/rapidity), zincir eğrilerinde (catenary) ve mühendislikte sürekli karşımıza çıkar.
Nasıl kullanılır?
Değişken \(x\) alanına herhangi bir gerçel sayı girin ve hesaplayın. Üstteki kutu, her zaman tanımlı olan ters hiperbolik sinüs değerini gösterir; tablo ise altı sonucun tamamını yüksek hassasiyetle listeler. \(x\), bir fonksiyonun gerçel tanım kümesinin dışına düştüğünde hesaplayıcı yanıltıcı bir sayı vermek yerine “gerçel değer yok” bilgisini verir.
Formüller
Her ters hiperbolik fonksiyon, asıl gerçel kolunda doğal logaritma ve karekök cinsinden ifade edilebilir:
$$\sinh^{-1}(x) = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$$ tüm gerçel \(x\) için. $$\cosh^{-1}(x) = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)$$ \(x \geq 1\) için. $$\tanh^{-1}(x) = \tfrac12\cdot\ln\frac{1+x}{1-x}$$ \(|x| < 1\) için. Ters (resiprokal) fonksiyonlar ise \(1/x\) değerini ana fonksiyonlara verir: \(\operatorname{csch}^{-1}(x) = \sinh^{-1}(1/x)\), \(x \neq 0\) için; \(\operatorname{sech}^{-1}(x) = \cosh^{-1}(1/x)\), \(0 < x \leq 1\) için; \(\coth^{-1}(x) = \tanh^{-1}(1/x)\), \(|x| > 1\) için.
Çözümlü örnek (x = 2)
$$\sinh^{-1}(2) = \ln(2 + \sqrt{5}) = \ln(4{,}2360679\ldots) \approx 1{,}44363548$$ $$\cosh^{-1}(2) = \ln(2 + \sqrt{3}) \approx 1{,}31695790$$ $$\operatorname{csch}^{-1}(2) = \sinh^{-1}(0{,}5) = \ln(0{,}5 + \sqrt{1{,}25}) \approx 0{,}48121183$$ $$\coth^{-1}(2) = \tanh^{-1}(0{,}5) = \tfrac12\cdot\ln(3) \approx 0{,}54930614$$ \(|2| > 1\) olduğundan \(\tanh^{-1}(2)\) gerçel bir değere sahip değildir; \(2 > 1\) olduğundan \(\operatorname{sech}^{-1}(2)\) de gerçel bir değer almaz.
Sık sorulan sorular
Neden bazı sonuçlar “gerçel değer yok” diyor? Her fonksiyonun kısıtlı bir gerçel tanım kümesi vardır (örneğin \(\cosh^{-1}\) için \(x \geq 1\) gerekir). Bu aralığın dışında gerçek değer karmaşık (kompleks) olur; bu gerçel değerli hesaplayıcı da bu durumu açıkça belirtir.
x = 0 olduğunda ne olur? Resiprokal fonksiyonlar \(\operatorname{csch}^{-1}\) ve \(\coth^{-1}\) \(1/x\) gerektirdiğinden \(x = 0\) bu fonksiyonlar için tanımsızdır.
Bunlar doğal logaritma özdeşlikleriyle aynı mı? Evet — hesaplayıcı yukarıdaki kesin logaritmik biçimleri kullanır; bunlar standart asinh/acosh/atanh hazır fonksiyonlarıyla matematiksel olarak birebir aynıdır.
