Công cụ này làm gì
Công cụ tính cùng lúc cả sáu hàm hyperbolic ngược của một số thực x: sin hyperbolic ngược \(\sinh^{-1}(x)\), cos hyperbolic ngược \(\cosh^{-1}(x)\), tan hyperbolic ngược \(\tanh^{-1}(x)\), cosec hyperbolic ngược \(\operatorname{csch}^{-1}(x)\), sec hyperbolic ngược \(\operatorname{sech}^{-1}(x)\) và cotang hyperbolic ngược \(\coth^{-1}(x)\). Đây là các hàm ngược của những hàm hyperbolic, xuất hiện thường xuyên trong giải tích, bảng tích phân, thuyết tương đối hẹp (đại lượng rapidity), đường dây xích (catenary) và kỹ thuật.
Cách dùng
Nhập một số thực bất kỳ vào ô Biến x rồi bấm tính. Khung kết quả nổi bật hiển thị giá trị sin hyperbolic ngược — hàm luôn xác định với mọi x — còn bảng bên dưới liệt kê cả sáu kết quả với độ chính xác cao. Khi x nằm ngoài miền xác định thực của một hàm nào đó, máy tính sẽ báo "không có giá trị thực" thay vì trả về một con số gây hiểu lầm.
Các công thức
Trên nhánh thực chính, mọi hàm hyperbolic ngược đều quy về logarit tự nhiên và căn bậc hai:
$$\sinh^{-1}(x) = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$$ với mọi x thực. $$\cosh^{-1}(x) = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)$$ với \(x \geq 1\). $$\tanh^{-1}(x) = \tfrac{1}{2}\cdot\ln\frac{1+x}{1-x}$$ với \(|x| < 1\). Ba hàm nghịch đảo lấy 1/x đưa vào các hàm gốc: \(\operatorname{csch}^{-1}(x) = \sinh^{-1}(1/x)\) với \(x \neq 0\); \(\operatorname{sech}^{-1}(x) = \cosh^{-1}(1/x)\) với \(0 < x \leq 1\); \(\coth^{-1}(x) = \tanh^{-1}(1/x)\) với \(|x| > 1\).
Ví dụ minh họa (x = 2)
$$\sinh^{-1}(2) = \ln(2 + \sqrt{5}) = \ln(4.2360679...) \approx 1.44363548$$ $$\cosh^{-1}(2) = \ln(2 + \sqrt{3}) \approx 1.31695790$$ $$\operatorname{csch}^{-1}(2) = \sinh^{-1}(0.5) = \ln(0.5 + \sqrt{1.25}) \approx 0.48121183$$ $$\coth^{-1}(2) = \tanh^{-1}(0.5) = \tfrac{1}{2}\cdot\ln(3) \approx 0.54930614$$ Vì \(|2| > 1\) nên \(\tanh^{-1}(2)\) không có giá trị thực, và vì \(2 > 1\) nên \(\operatorname{sech}^{-1}(2)\) cũng không có giá trị thực.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao một số kết quả ghi "không có giá trị thực"? Mỗi hàm có một miền xác định thực bị giới hạn (ví dụ \(\cosh^{-1}\) cần \(x \geq 1\)). Ngoài khoảng đó, giá trị thật là số phức; máy tính chỉ làm việc với số thực nên chỉ báo hiệu trường hợp này.
Tại x = 0 thì sao? Hai hàm nghịch đảo \(\operatorname{csch}^{-1}\) và \(\coth^{-1}\) cần đến \(1/x\), nên \(x = 0\) là không xác định với chúng.
Chúng có giống các đẳng thức logarit tự nhiên không? Đúng vậy — máy tính dùng chính các dạng logarit nêu trên, vốn hoàn toàn tương đương về mặt toán học với các hàm asinh/acosh/atanh có sẵn.
