이 계산기의 기능
이 도구는 하나의 실수 x에 대해 6가지 역쌍곡선 함수를 한꺼번에 계산합니다. 역쌍곡선 사인 sinh⁻¹(x), 역쌍곡선 코사인 cosh⁻¹(x), 역쌍곡선 탄젠트 tanh⁻¹(x), 역쌍곡선 코시컨트 csch⁻¹(x), 역쌍곡선 시컨트 sech⁻¹(x), 역쌍곡선 코탄젠트 coth⁻¹(x)가 그 대상입니다. 이 함수들은 쌍곡선 함수의 역함수로, 미적분과 적분표, 특수 상대성 이론(래피디티), 현수선(카테너리) 곡선, 그리고 다양한 공학 분야에서 자주 등장합니다.
사용 방법
변수 x 입력란에 임의의 실수를 입력하고 실행하세요. 상단의 결과 상자에는 항상 정의되는 역쌍곡선 사인 값이 표시되고, 표에는 6가지 함수의 결과가 높은 정밀도로 모두 나열됩니다. x가 특정 함수의 실수 정의역을 벗어나는 경우, 계산기는 잘못된 숫자를 보여주는 대신 "실숫값 없음"이라고 안내합니다.
공식
모든 역쌍곡선 함수는 주실수분지(principal real branch)에서 자연로그와 제곱근으로 정리됩니다.
sinh⁻¹(x) = ln(x + √(x²+1)), 모든 실수 x에 대해 성립합니다. cosh⁻¹(x) = ln(x + √(x²−1)), x ≥ 1일 때. tanh⁻¹(x) = ½·ln((1+x)/(1−x)), |x| < 1일 때. 역수 함수들은 1/x를 주함수에 대입하여 구합니다. csch⁻¹(x) = sinh⁻¹(1/x), x ≠ 0일 때; sech⁻¹(x) = cosh⁻¹(1/x), 0 < x ≤ 1일 때; coth⁻¹(x) = tanh⁻¹(1/x), |x| > 1일 때.
계산 예시 (x = 2)
sinh⁻¹(2) = ln(2 + √5) = ln(4.2360679...) ≈ 1.44363548. cosh⁻¹(2) = ln(2 + √3) ≈ 1.31695790. csch⁻¹(2) = sinh⁻¹(0.5) = ln(0.5 + √1.25) ≈ 0.48121183. coth⁻¹(2) = tanh⁻¹(0.5) = ½·ln(3) ≈ 0.54930614. |2| > 1이므로 tanh⁻¹(2)는 실숫값이 없고, 2 > 1이므로 sech⁻¹(2) 역시 실숫값이 없습니다.
자주 묻는 질문
왜 어떤 결과는 "실숫값 없음"이라고 나오나요? 각 함수는 제한된 실수 정의역을 가집니다(예: cosh⁻¹는 x ≥ 1이 필요합니다). 그 범위를 벗어나면 실제 값은 복소수가 되며, 이 실수 전용 계산기는 그 사실을 표시할 뿐입니다.
x = 0일 때는 어떻게 되나요? 역수 함수인 csch⁻¹와 coth⁻¹는 1/x를 필요로 하므로, x = 0에서는 정의되지 않습니다.
이 결과가 자연로그 항등식과 같은 것인가요? 네 — 이 계산기는 위에 제시된 정확한 로그 형태를 사용하며, 이는 표준 asinh/acosh/atanh 내장 함수와 수학적으로 완전히 동일합니다.
