ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة دفعةً واحدة جميع الدوال الزائدية العكسية الست لعدد حقيقي واحد x: معكوس الجيب الزائدي \(\sinh^{-1}(x)\)، ومعكوس جيب التمام الزائدي \(\cosh^{-1}(x)\)، ومعكوس الظل الزائدي \(\tanh^{-1}(x)\)، ومعكوس القاطع التمامي \(\operatorname{csch}^{-1}(x)\)، ومعكوس القاطع \(\operatorname{sech}^{-1}(x)\)، ومعكوس ظل التمام \(\coth^{-1}(x)\). هذه الدوال هي معكوسات الدوال الزائدية، وتظهر باستمرار في حساب التفاضل والتكامل، وجداول التكامل، والنسبية الخاصة (السرعة الزاوية rapidity)، ومنحنيات السلسلة المعلّقة (catenary)، وفي مجالات الهندسة.
طريقة الاستخدام
أدخل أي عدد حقيقي في حقل المتغير x ثم اضغط للحساب. يعرض الصندوق الرئيسي قيمة معكوس الجيب الزائدي المُعرَّفة دائمًا، بينما يسرد الجدول جميع النتائج الست بدقة عالية. وحين يقع x خارج المجال الحقيقي لإحدى الدوال، تُظهر الحاسبة عبارة «لا قيمة حقيقية» بدلًا من رقم مضلِّل.
الصيغ الرياضية
تُختزل كل دالة زائدية عكسية إلى لوغاريتمات طبيعية وجذور تربيعية على فرعها الحقيقي الأساسي:
$$\sinh^{-1}(x) = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2+1}\right)$$لجميع قيم x الحقيقية.
$$\cosh^{-1}(x) = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2-1}\right)$$عندما \(x \geq 1\).
$$\tanh^{-1}(x) = \tfrac12\cdot\ln\frac{1+x}{1-x}$$عندما \(|x| < 1\). أما الدوال المقلوبة فتُمرِّر \(1/x\) إلى الدوال الأساسية: \(\operatorname{csch}^{-1}(x) = \sinh^{-1}(1/x)\) عندما \(x \neq 0\)؛ و\(\operatorname{sech}^{-1}(x) = \cosh^{-1}(1/x)\) عندما \(0 < x \leq 1\)؛ و\(\coth^{-1}(x) = \tanh^{-1}(1/x)\) عندما \(|x| > 1\).
مثال محلول (x = 2)
$$\sinh^{-1}(2) = \ln(2 + \sqrt{5}) = \ln(4.2360679\ldots) \approx 1.44363548$$$$\cosh^{-1}(2) = \ln(2 + \sqrt{3}) \approx 1.31695790$$$$\operatorname{csch}^{-1}(2) = \sinh^{-1}(0.5) = \ln(0.5 + \sqrt{1.25}) \approx 0.48121183$$$$\coth^{-1}(2) = \tanh^{-1}(0.5) = \tfrac12\cdot\ln(3) \approx 0.54930614$$وبما أن \(|2| > 1\)، فإن \(\tanh^{-1}(2)\) ليس لها قيمة حقيقية، وبما أن \(2 > 1\)، فإن \(\operatorname{sech}^{-1}(2)\) أيضًا ليس لها قيمة حقيقية.
الأسئلة الشائعة
لماذا تظهر بعض النتائج بعبارة «لا قيمة حقيقية»؟ لكل دالة مجال حقيقي محدود (مثلًا تتطلب \(\cosh^{-1}\) أن يكون \(x \geq 1\)). خارج هذا النطاق تكون القيمة الحقيقية عددًا عقديًّا (مركّبًا)، وتكتفي هذه الحاسبة ذات القيم الحقيقية بالإشارة إلى ذلك.
ماذا يحدث عند x = 0؟ تتطلب الدالتان المقلوبتان \(\operatorname{csch}^{-1}\) و\(\coth^{-1}\) حساب \(1/x\)، لذا تكون القيمة \(x = 0\) غير معرَّفة لهما.
هل هذه الصيغ مطابقة لمتطابقات اللوغاريتم الطبيعي؟ نعم — تستخدم الحاسبة الصيغ اللوغاريتمية الدقيقة المذكورة أعلاه، وهي مطابقة رياضيًّا للدوال المدمجة المعيارية asinh وacosh وatanh.
