ماذا تفعل هذه الحاسبة
تبني هذه الأداة جدولاً للدوال الزائدية الأساسية الثلاث — الجيب الزائدي (sinh) وجيب التمام الزائدي (cosh) والظل الزائدي (tanh) — لكل قيمة من x ضمن المجال الذي تختاره. تحدد قيمة بداية وقيمة نهاية ومقدار خطوة، ثم تمر الحاسبة على المجال خطوةً خطوة وتحسب كل دالة عند كل نقطة. وهي مفيدة لدراسة أشكال الدوال أو مراجعة الواجبات الدراسية أو توليد نقاط بيانات لرسمها بيانياً.
كيفية الاستخدام
أدخل قيمة البداية وقيمة النهاية للمتغير x، ثم حدّد مقدار الزيادة (الخطوة) بقيمة موجبة. ويمكنك اختيارياً تحديد عدد الأرقام المعنوية المعروضة. يجب أن يكون مقدار الزيادة أكبر من صفر، وأن تكون قيمة النهاية مساوية لقيمة البداية على الأقل. وعدد الصفوف يساوي تقريباً \(\lfloor(\text{النهاية} - \text{البداية}) / \text{الخطوة}\rfloor + 1\)؛ وعند استخدام خطوات صغيرة جداً عبر مجالات واسعة يُقيَّد الجدول بحد أقصى 2000 صف للحفاظ على وضوحه وسهولة قراءته.
شرح الصيغ
تُعرَّف الدوال الزائدية انطلاقاً من الدالة الأسية:
$$\sinh x = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2},\quad \cosh x = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$$وناتج قسمتهما يعطي
$$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$$وبما أن قيمة \(\cosh x\) لا تقل أبداً عن 1، فإن tanh لا يُقسَم أبداً على صفر، ويقع tanh دائماً بشكل صارم بين \(-1\) و\(1\). كما أن sinh وtanh دالتان فرديتان بينما cosh دالة زوجية، ومن ثَمّ فإن \(\sinh(0) = 0\) و\(\cosh(0) = 1\) و\(\tanh(0) = 0\).
مثال محلول
بأخذ البداية = \(-2\) والنهاية = 2 والخطوة = 1، تحصل على خمسة صفوف للقيم \(x = -2, -1, 0, 1, 2\). عند \(x = 2\): نجد \(e^2 = 7.389056\) و\(e^{-2} = 0.135335\)، إذن
$$\sinh = \frac{7.389056 - 0.135335}{2} = 3.626860$$$$\cosh = \frac{7.389056 + 0.135335}{2} = 3.762196$$$$\tanh = \frac{3.626860}{3.762196} = 0.964028$$وبحكم التماثل، تعطي \(x = -2\) القيمتين السالبتين لـ sinh وtanh ونفس قيمة cosh.
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن تكون الخطوة موجبة؟ لأن خطوة صفرية أو سالبة لن تتقدم أبداً نحو قيمة النهاية، مما يؤدي إلى حلقة لا نهائية أو إلى عدم إحراز أي تقدم، ولذلك تُرفَض.
ماذا يحدث عند قيم x الكبيرة جداً؟ عندما تتجاوز \(|x|\) نحو 710 تقريباً، تتجاوز قيمتا sinh وcosh المدى الذي يمكن تمثيله بعدد من النوع double وتظهران بصيغة Infinity (ما لا نهاية)؛ وتنبّه الأداة إلى ذلك برسالة تحذير.
هل للمتغير x وحدات؟ لا. فالمتغير x عدد حقيقي عديم الأبعاد ويُستخدَم مباشرةً دون أي تحجيم أو تحويل.
