ما هي حاسبة ظل التمام الزائدي؟
تحسب هذه الأداة ظل التمام الزائدي (coth) لأي عدد حقيقي تُدخله. تظهر الدوال الزائدية في مجالات واسعة من الفيزياء والهندسة والرياضيات المتقدمة؛ فهي تُستخدم مثلًا في نمذجة الكابلات المعلقة (منحنى السلسلة)، وانتقال الحرارة، والنسبية الخاصة، وخطوط نقل الطاقة الكهربائية. وبدلًا من حساب الدوال الأسية يدويًا، يكفي أن تُدخل قيمة واحدة لتحصل على نتيجة دقيقة في الحال.
طريقة الاستخدام
هناك حقل إدخال واحد فقط:
- العدد (x): القيمة التي تريد إيجاد ظل تمامها الزائدي. يمكنك إدخال أي عدد موجب أو سالب.
هناك قيد مهم واحد: لا يمكن أن تساوي x صفرًا. ذلك لأن sinh(0) = 0، وبالتالي فإن coth(0) يتطلب القسمة على صفر، وهو أمر غير مُعرَّف. كما تعرض الحاسبة قيم sinh(x) وcosh(x) وeˣ وe⁻ˣ الأساسية لتتمكن من رؤية كيفية بناء النتيجة.
شرح الصيغة
ظل التمام الزائدي هو النسبة بين جيب التمام الزائدي والجيب الزائدي:
- coth(x) = cosh(x) / sinh(x)
- حيث sinh(x) = (eˣ − e⁻ˣ) / 2 وcosh(x) = (eˣ + e⁻ˣ) / 2
وبالتعويض نحصل على الصيغة الأسية المكافئة: coth(x) = (eˣ + e⁻ˣ) / (eˣ − e⁻ˣ). تحسب الأداة قيمتي sinh وcosh مباشرةً، ثم تقسم cosh على sinh، تمامًا كما تُظهر هذه الصيغة.
مثال محلول
لنفترض أنك أدخلت x = 2:
- eˣ = e² ≈ 7.389056
- e⁻ˣ = e⁻² ≈ 0.135335
- sinh(2) = (7.389056 − 0.135335) / 2 ≈ 3.626860
- cosh(2) = (7.389056 + 0.135335) / 2 ≈ 3.762196
- coth(2) = 3.762196 / 3.626860 ≈ 1.037315
إذن coth(2) ≈ 1.0373. ولاحظ أنه كلما زادت قيمة x اقتربت قيمة coth(x) من 1.
الأسئلة الشائعة
لماذا لا يمكنني إدخال الصفر؟ عند x = 0 يكون sinh(0) = 0، والقسمة على صفر غير مُعرَّفة. لذلك يكون لدالة coth(x) خط تقارب رأسي عند هذه النقطة، ولا توجد لها قيمة منتهية.
ما مدى القيم التي تنتجها دالة coth؟ بالنسبة للقيم الموجبة لـ x تكون النتيجة دائمًا أكبر من 1 وتتناقص باتجاه 1 كلما زادت x. أما للقيم السالبة فتكون النتيجة دائمًا أصغر من −1 وتقترب من −1 كلما تناقصت x. ولا تأخذ الدالة أبدًا قيمًا تقع بين −1 و1.
ما علاقة coth بدالة tanh؟ ظل التمام الزائدي هو مقلوب ظل الزاوية الزائدي: coth(x) = 1 / tanh(x). فإذا عرفت قيمة tanh(x) يمكنك إيجاد coth(x) بأخذ مقلوبها.
