ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة الدوال الزائدية الست لعدد حقيقي مجرّد x: نظائر الجيب وجيب التمام والظل، أي sinh وcosh وtanh، إلى جانب مقلوباتها csch (قاطع التمام) وsech (القاطع) وcoth (ظل التمام). إن المتغير x هو عدد محض وليس زاوية بالدرجات، لذلك لا يُجرى أي تحويل من الدرجات إلى الراديان. وتظهر الدوال الزائدية في كل مجالات الفيزياء والهندسة تقريبًا: في شكل الكابل المتدلّي (المنحنى السلسلي)، والنسبية الخاصة، ومعالجة الإشارات، وانتقال الحرارة، وحلول كثير من المعادلات التفاضلية.
طريقة الاستخدام
أدخل أي قيمة حقيقية للمتغير x، ثم اختر عدد الأرقام المعنوية التي تريد عرضها. تعرض الحاسبة الدوال الست دفعةً واحدة. وبما أن \(\cosh(x)\) لا تقل أبدًا عن 1، فإن \(\operatorname{sech}(x)\) معرّفة دائمًا. غير أن \(\sinh(0) = 0\) و\(\tanh(0) = 0\)، ومن ثمّ فإن حساب \(\operatorname{csch}(0)\) و\(\coth(0)\) يتضمّن قسمة على صفر، فتظهران بوصفهما «غير معرّفة».
شرح الصيغة الرياضية
كل شيء مبني على الدالة الأسّية. فبوضع \(ep = e^x\) و\(en = e^{-x}\) نحصل على:
$$\sinh(x) = \frac{ep - en}{2}$$التي تمثّل الجزء الفردي من الدالة الأسّية، و
$$\cosh(x) = \frac{ep + en}{2}$$التي تمثّل الجزء الزوجي، و
$$\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$$أما المقلوبات فتُشتق مباشرة: \(\operatorname{csch} = \frac{1}{\sinh}\)، و\(\operatorname{sech} = \frac{1}{\cosh}\)، و\(\coth = \frac{1}{\tanh}\). ومن المتطابقات المفيدة التي تتحقق دائمًا:
$$\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$$وهي النظير الزائدي لمتطابقة فيثاغورس.
مثال محلول (x = 1)
بما أن \(e = 2.718281828\ldots\) و\(e^{-1} = 0.367879441\ldots\) فإن:
$$\sinh(1) = \frac{2.718281828 - 0.367879441}{2} = 1.175201194$$$$\cosh(1) = \frac{2.718281828 + 0.367879441}{2} = 1.543080635$$$$\tanh(1) = \frac{1.175201194}{1.543080635} = 0.761594156$$وتعطي المقلوبات: \(\operatorname{csch}(1) = 0.850918128\)، و\(\operatorname{sech}(1) = 0.648054274\)، و\(\coth(1) = 1.313035285\).
الأسئلة الشائعة
هل المتغير x زاوية بالدرجات؟ لا. تأخذ الدوال الزائدية عددًا حقيقيًا عاديًا؛ فليس هناك وضع للدرجات ولا أي تحويل.
لماذا تكون csch(0) وcoth(0) غير معرّفتين؟ لأن كلتيهما تقتضي القسمة على \(\sinh(0) = 0\)، وهي عملية غير معرّفة. ولذلك تنبّه الحاسبة إلى ذلك بدلًا من إرجاع قيمة لا نهائية.
أي الدوال زوجية وأيها فردية؟ الدوال sinh وtanh وcsch وcoth فردية (\(f(-x) = -f(x)\))، بينما cosh وsech زوجيتان (\(f(-x) = f(x)\)).
